汎函数微分

Prerequisite

普通，函数とよばれるものは1つの実数（複素数）から1つの実数（複素数）への写像のことである．
これを拡張して複数の実数から1つの実数への写像である多変数函数とか，複数の実数から1つのベクトルへの写像であるベクトル値函数とかを定義できる．
さらにこの概念を拡張してみよう．
連続無限個の実数から1つの実数への写像を考える．
これを普通の函数と区別して汎函数 (functional) という．

多変数函数の各変数は自然数のラベル $i$ が振られていて $x_1,\cdots,x_n$ のように書く．
このラベルを連続な実数 $t$ に置き換えて $x(t)$ としよう．
これはもちろん $x$ が $t$ の函数である，とみても良い．
その際 $x(t)$ はなめらかであるとする．
汎函数は函数の値域全体を引数に持つので，それを明示するために丸括弧 $(\quad)$ ではなく角括弧 $[\quad]$ を用いて $F[x]$ などと書く．

汎函数微分は普通の微分の変数の数が可算個から連続無限個に拡張されただけなので，ここでは簡単に可算個の場合から類推して定義する．
汎函数 $F[x]$ の $x(t_1)$ による微分を，

汎函数の微分係数

と書いたときの1次の項の係数によって定義する．
これは変数が可算個のときTaylorの定理によって微分を定義するのと同じである．
比較のために多変数の場合のTaylor展開は，

多変数のときすべての変数に渡って和をとるために $\sum$ があるように，汎函数でも和を取る意味で積分 $\int\mathrm{d} t$ が現れている．
とくに汎函数が $x(t)$ 自身のときは1次までで，

両辺が一致するためには，

対応する多変数の場合の式は，

したがってKroneckerのデルタとデルタ函数とが対応することがわかる．

他の例も見ていこう．
一つ目は $F[x]=x(t)^2$ のとき，

なので係数を比較して，

この例は無限個あるうち特定の $t$ での $x(t)$ にしか依存しないので特殊である（実質的には1変数函数）．

二つ目に $F[x]=\int\mathrm{d} t\,x(t)^2$ では，

なので係数を比較して，

上記の例を一般化して $x$ の函数 $f(x)$ に対して $F[x]=\int\mathrm{d} t\,f(x(t))$ とすれば

となるから右辺で $x(t)$ まわりのTaylor展開を行えば

が得られる．
またTaylor展開の任意の高次をとることで任意の高階汎函数微分も計算できる．

次に導函数 $\dot{x}(t)$ の汎函数微分を考えよう．
こちらも定義通りに変形していけばよい：

2つ目のイコールは部分積分による．
表面項は端点固定の境界条件 $\delta x(t_i)=\delta x(t_f)=0$ によりおとした．
係数を比較して，

多変数函数で対応するのは変数の差 $x_{i+h}-x_i$ の $x_j$ 微分である．
$\dot{x}$ は汎函数微分の観点からは異なる2つの変数 $x(t+h)$ と $x(t)$ の差にすぎない．
任意の $\dot{x}$ の函数 $g(\dot{x})$ に対し $F[x]=\int\mathrm{d} t\,g(\dot{x}(t))$ を考えると変分は