正準量子化

Introduction

この章では正準量子化の方法によって古典論から量子論を推定する．
また推定したHamiltonianに対して前章で導入した基本原理を駆使してさまざまな量子論的な性質を導く．
ここでは波動方程式を紹介するが詳細な解法は別の章に委ねて，なるべくオブザーバブルの交換関係に基づいて解けるような問題に焦点を当てる．

座標表示，運動量表示では一次元における正準量子化の方法を紹介する[1,2,3]．
また座標と運動量の固有状態による状態の記述方法である，波動函数について述べる．

多変数の正準量子化では一般次元の空間における正準量子化に拡張する[2,3]．

自由なSchrödinger方程式，Gauss波束ではポテンシャルがない場合の波動函数を求める[4]．
また最小不確定状態を不確定性原理の等号成立条件から導く．
Gaussianは量子論では簡単な例として紹介されるが，場の量子論や統計力学では厳密に解ける非常に少ない例であり，ほかの多様なモデルをGaussianに帰着させることを考える．

一次元調和振動子，コヒーレント状態では調和振動ポテンシャル中の粒子の状態を求める[2,5]．
調和振動ポテンシャルの量子論の問題は場の量子論，固体物性（超伝導，超流動，フォノン，磁性体），プラズマ，インフレーション宇宙論など物理学のあらゆる場面において重要である．

角運動量演算子では角運動量を正準量子化してそこから得られる交換関係について議論していく[4]．
スピンでは電子などの素粒子が持つスピンと呼ばれる自由度について述べる[1,2,6,7]．
角運動量，スピンの満たす交換関係は量子論でのLorentz変換を議論するときにも役に立つ．

経路積分による量子化では正準量子化とは異なる別の量子化の方法を紹介する[7,8]．
経路積分の方法では演算子では使わず積分測度を定義して期待値の積分計算に置き換える．

Reference

正準量子化については

[1] 清水明，『量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために』，（サイエンス社，2004）．>>> Amazon
[2] 北野正雄，『量子力学の基礎』，（共立出版，2010）．>>> Amazon

他に以下を参考にした

[3] P. A. M. ディラック, 『量子力学 原書第4版』，（岩波書店，1968）．>>> Amazon
[4] 猪木慶次，川合光，『量子力学I』，（講談社，1994）. >>> Amazon
[5] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, “Quantum Mechanics Non-Relativistic Theory, Third Edition”, (Butterworth-Heinemann, 1977)．>>> Amazon
[6] 堀田昌寛，『入門 現代の量子力学 量子情報・量子測定を中心として』，（講談社，2021）. >>> Amazon
[7] M. Srednicki, “Quantum Field Theory”, (Cambridge University Press, 2007). >>> Amazon
[8] 久後汰一郎，『ゲージ場の量子論 I』, (培風館, 1989). >>> Amazon