コヒーレント状態

Prerequisite

一次元調和振動子

物性物理などの応用分野で有用なのがコヒーレント状態である．
前節で調和振動子の問題を解いたわけだが一つ問題が残っている．
そのことを見るために任意の時刻での固有状態 $|{n,t}\rangle$ における位置の期待値を計算してみよう．
Schrödinger方程式の形式解 $|{n,t}\rangle=e^{-i\hat{H}t}|{n}\rangle$ （ここで $|{n,0}\rangle$ を $|{n}\rangle$ と略記した）を用いて，

ここで $\hat{H}$ は調和振動子のHamiltonianである．

$\hat{a}^{\dagger},\,\hat{a}$ は生成・消滅演算子であり，

と定義されている．
エネルギー固有値は

だから指数函数の肩でも固有値 $E_n$ に置き換えて

生成・消滅演算子の性質から固有状態は1つずつ増加・減少し後ろのブラケットは $\langle{n|n-1}\rangle,\,\langle{n|n+1}\rangle$ に変わるが，固有状態の直交性から両方とも $0$ になる．
結局，任意の時刻で位置の期待値は $\langle{\hat{x}(t)\rangle}=0$ であることが導かれた．
これは周期運動する古典的粒子の描像とは整合しない．

ではエネルギー固有状態の代わりに自由なSchrödinger方程式の場合と同様に最小不確定状態を考えよう．
それを $|{\phi}\rangle$ とする．
このとき不確定性原理の等号が成立して

が満たされる．
$\alpha$ は任意の実数．
そこで $\alpha$ として $-1/m\omega$ に選ぶとこの条件は消滅演算子 $\hat{a}$ で書き換えることができて

ここで $\phi\in\mathbb{C}$ の定数．
いまエネルギーの固有状態 ${|{n}\rangle}$ を正規直交完全系にとってきて $|{\phi}\rangle$ が

と展開されたとしよう．
$\hat{a}$ は固有値を $1$ 下げ， $\hat{a}|{0}\rangle=0$ であることから，

これが右辺 $\phi|{\phi}\rangle=\sum\phi c_n|{n}\rangle$ に等しいので，任意の非負整数 $n$ について漸化式 $c_{n+1}\sqrt{n+1}=\phi c_n$ が成り立つ．
これを解けば $c_n=c_0\phi^n/\sqrt{n!}$ であり， $c_0$ は状態 $|{\phi}\rangle$ の規格化から定める，

したがって，

位相因子を $1$ に選べば，

と求まる．
さらに固有状態の式より，

ともかける．

定義式の左から $\langle{x}|$ を作用して座標表示すると，

という1階の微分方程式が得られる（ $\psi_{\phi}(x):=\langle{x|\phi}\rangle$ ）．
これは容易に解くことができて，適切に規格化を行えば

エネルギー基底状態 $\psi_0(x):=\langle{x|0}\rangle$ を $x$ 軸に沿って複素数 $x_{\phi}$ だけ並進移動したものと解釈できる．

では任意の時刻での状態 $|{\phi,t}\rangle$ における位置の期待値を計算してみよう．
時間並進演算子を用いて，

生成・消滅演算子とHamiltonianの交換関係 $[\hat{H},\,\hat{a}^{\dagger}]=+\hbar\omega\hat{a}^{\dagger}$ と $[\hat{H},\,\hat{a}]=-\hbar\omega\hat{a}$ とBaker–Campbell–Hausdorffの公式より

同様に

以上から

$\hat{a}|{\phi}\rangle=\phi|{\phi}\rangle$ のHermite共役をとれば $\langle{\phi}|\hat{a}^{\dagger}=\phi^*\langle{\phi}|$ なので

ここで $\phi=|\phi|e^{i\delta}$ とおいた．
状態 $|{\phi,t}\rangle$ は位置の期待値が振幅が $x_{\phi}$ ，位相のずれが $\delta$ で単振動する古典的な描像と整合する．
この状態 $|{\phi,t}\rangle$ はコヒーレント状態 (coherent state) とよばれる．

運動量の期待値は生成演算子の符号と全体の係数だけが異なる同様の計算によって

と求められる．
$\langle{\hat{p}(t)\rangle}/m$ はちょうど $\langle{\hat{x}(t)\rangle}$ を時間について微分したものと一致している．

最後にゆらぎを計算して最小不確定であることをたしかめよう．
まず座標のゆらぎを計算するために $\hat{x}^2$ の期待値を計算していくと

2行目へは生成消滅演算子の交換関係 $[\hat{a},\,\hat{a}^{\dagger}]=1$ を用いた．
3行目へは $\hat{a}^2$ の間に時間並進演算子 $\hat{I}=e^{i\hat{H}t/\hbar}e^{-i\hat{H}t/\hbar}$ を挟み込んでBaker–Campbell–Hausdorffの公式を適用するなどした．
これから $\varDelta x = \sqrt{\hbar/(2m\omega)}$ とわかる．