単振動

Prerequisite

運動の法則

この節からしばらく一次元系を考えよう．
原点からの変位と逆向きに大きさ $kx$ の力がはたらくとき，運動方程式は，

ポテンシャルエネルギーは $V(x)=kx^2/2$ が存在するのでこの力は保存力である．
したがってエネルギー保存則が成り立って，

となる．
たとえばゴムひもやバネをのばしたとき物体にはたらく力はこのような法則に従う（Hookeの法則）．
この力は物体が原点から離れるほど原点へ戻そうとするので復元力とよばれる．

バネの一方を壁に，もう一方には質量 $m$ の物体をとりつける．
この $m$ に比べてバネ自身の質量はとても小さく無視できるものとする．
バネに何の力もはたらいていないときのバネの長さを自然長という．
この自然長 $l$ からの伸びを $x$ とすると（負のときは縮み），バネは伸びを戻そうとする力を物体に作用させる．

バネの復元力はHookeの法則にしたがい運動方程式は

となる．
ここに現れる比例定数 $k$ をバネ定数といい，その値はバネの材質などによって異なり $k$ が大きいほど固いバネである．
$x$ の原点は自然長のときの物体の位置

物体を原点から $x=A$ まで引っ張ってそっと放す．
つまり初期条件 $x(0)=A,\,v(0)=0$ ．
するとバネは収縮して物体を引っ張り原点まで戻す．
そして収縮しきると今度はバネは伸張に転じこれをくりかえす．
ポテンシャルが放物線であることからも物体はその内側で有界運動することがわかる．
このような運動を振動という．

初期条件 $x(0)=A,\,v(0)=0$ のもとで運動方程式を解こう．
そのために $\omega=\sqrt{k/m}$ という量を導入して方程式を，

と書き換えてみる．
この方程式の解 $x(t)$ は2回微分すると元の函数形に戻って係数に $-\omega^2$ がでてくる．
そのような函数としては三角函数 $\sin\omega t,\,\cos\omega t$ が考えられる．
そこで解を $x(t)=c_1\sin\omega t+c_2\cos\omega t$ とおいてみよう．
$c_1,c_2$ は時間によらない定数．
するとたしかに上の運動方程式を満たすことが確かめられるだろう．
初期条件より $t=0$ のとき $x=A,v=0$ であるから，

$\omega\neq0$ だから結局解は，

と求まる．

エネルギー保存則の式から求めることもできる．
保存するエネルギーを $E$ として整理すれば，

変数分離の後，両辺を時間で積分して，

初期条件から $t=0$ でのエネルギーは $E=kA^2/2$ であるから，

$x=A\cos\theta$ とおくと，積分要素は $\mathrm{d} x=-A\sin\theta\mathrm{d}\theta$ で積分区間は $0\rightarrow\theta$ になって，

したがって $\theta=-\omega t$ となるが，変数変換の式から最終的に同じ結果 $x(t)=A\cos\omega t$ が得られる．

解が三角函数であるから予想通り物体は $x=A$ と $x=-A$ の間を往復する運動をする．
この往復の幅 $A$ を振動の振幅 (amplitude) といいこの物体の運動を単振動という．
$\omega$ は角振動数 (angular frequency) とよばれる．
その意味は後述する．
また1往復にかかる時間 $T$ は， $A=A\cos\omega T$ より $T=2\pi/\omega$ となる．
これを振動の周期という．

測り始める時刻を変えてみよう．
つまり $t=0$ からではなく $t=t_0$ から測り始めるとする．
すると初期条件が $t=t_0$ のとき $x(t_0)=A,v(t_0)=0$ にとって代わるので解は，

となる．あるいは $\delta=\omega t_0$ とおくと，

となる．
つまり解は $\omega t$ 方向に $\delta$ だけずれる．
この量を位相 (phase) という．
位相が異なると振動のタイミングはずれるが振幅や周期は同じになる．
加法定理より，

$A\cos\delta=c_1,A\sin\delta=c_2$ とおけば，

となる．これは一つ目の解法で天下りに仮定したものであった．
単振動の解には2つの決めるべき定数 $A$ と $\delta$ あるいは $c_1$ と $c_2$ が含まれている．
はじめの運動方程式が2階の微分方程式であったため，解はこれを2階積分したものと考えられる．
積分には定まらない積分定数がかならずあらわれるのでこのような初期条件によって定めなければならない定数が一般解には出現するのである．

さらに次のEulerの公式を用いれば解を指数函数で表すことができる：

これを逆に解くことで上の解は，

ここで $C=c_1-ic_2\in\mathbb{C}$ ．
このようにして $e^{i\omega t}$ という函数も振動を表すことがわかる．
位相を使った表式からも同様にすれば，

ところでこの解は円運動の式と似ている．二次元平面上での円運動の解は，

であり， $A$ は円運動の半径， $\omega$ は角速度であった．
一方単振動の解 $x(t)=A\cos(\omega t-\delta)$ では $A$ は振動の振幅， $\omega$ は振動の角振動数である．
また円運動においても測り始める角度を変えれば位相 $\delta$ に対応する物理量を考えられる．
ゆえに円運動する物体の影を一次元の軸（たとえば $x$ 軸）に落とす（射影する）とその影は単振動してみえる．
単振動における角振動数 $\omega$ は円運動での角速度が対応していて，単位時間あたりの角度の変化分を表す．
角振動数を $2\pi$ で割ったもの $f=\omega/2\pi$ は単位時間あたりに何往復（円運動の場合は何周）したかを表し振動数 (frequency) と呼ばれる．

次に振り子の微小振動について見てみよう．
振り子は極座標表示 $x=l\sin\theta,\,y=-l\cos\theta$ をとると便利であった．
$l$ は振り子のひもの長さ．
振り子の運動方程式は，

である．
$T$ はひもの張力， $g$ は重力加速度， $m$ はおもりの質量．
微小な振動 $\theta_0\ll1$ のとき，三角函数は $\sin\theta\sim\theta,\,\cos\theta\sim1$ と近似できる．
この近似によって $x\sim l\theta,\,y\sim-l$ とみなせる．
それゆえ $y$ 軸方向には動かず $\ddot{y}\sim0$ となり， $T\sim mg$ が運動方程式からわかる．
$x$ 軸方向の運動方程式は同じ近似により $ml\ddot{\theta}\sim-mg\theta$ となる．
$\omega=\sqrt{g/l}$ とおけば $\ddot{\theta}=-\omega^2\theta$ となり，単振動の方程式と一致する．
周期は $T=2\pi\sqrt{l/g}$ と読み取ることができる．

一般のポテンシャル $V(x)$ が $x=x_0$ で極小値をとるとしよう．
このとき $V'(x_0)=0$ かつ $V''(x_0)<0$ を満たす．
$x=x_0$ の近傍でポテンシャルをTaylor展開すると，

もし物体がこの極小の点 $x=x_0$ のまわりで微小にしか運動しないならば $\mathcal{O}\bigl((x-x_0)^3\bigr)$ の項は他に比べて非常に小さいので無視できる．
また第１項は定数であるから適当に基準をずらして消去できる．
すなわち極小点の近傍で，

$k=-V''(x_0)/2!$ とおけばこれはHookeの法則にしたがった運動に帰着される．
どんなポテンシャル下でも極小点のまわりでの微小振動は単振動と見なせることがわかる．

Problems

$\textsc{Problem1.}$

幅が $L$ の箱の中に質量 $m$ の質点が自然長 $l_1,\,l_2$ ，バネ定数 $k_1,\,k_2$ の2つのバネで両側の壁に繋がれている．
(I) 質点が静止してるときの力学的平衡点 $x_0$ を求めよ．ただし原点を左側の壁とする．
(II) 質点が平衡点からずれた位置 $x$ にあるときの運動方程式を導き，初期条件 $x(0)=A,\,\dot{x}(0)=0$ のもとでその解を求めよ．

$\textsc{Solution.}$

（I）質点が静止するためには両側のバネから受ける二力が逆向きでなければならない．
それゆえ $l_1+l_2>L$ のときには両方のバネが縮んでいなければならず， $l_1+l_2<L$ のときは両方とも伸びている必要がある．
前者の場合は $l_1+l_2-L$ だけ縮み，後者の場合 $L-l_1+l_2$ だけ伸びる．
左側のバネの縮みを $\xi_0$ とおくと力のつり合いの条件は，

となる．ただし $\xi_0$ が負のときは伸びを表し $l_1+l_2<L$ のときも成立．
これを $\xi_0$ について解けば，

この $\xi_0$ を用いて平衡点は $x_0 = l_1- \xi_0$ と書ける．

（II）まず質点が受ける力を求める．
左側のバネの縮みを $\xi$ とすると，質点は正（右）の方向に力 $k_1\xi$ を受ける．
このとき右側のバネは $l_1+l_2-L-\xi$ だけ縮んでいるので，質点は負（左）の方向に力 $k_2(l_1+l_2-L-\xi)$ を受ける．
以上から質点の運動方程式は，