立体角

Prerequisite

弧度法では半径 $1$ の円周を切り取る長さによって角度を定義する．
この考え方を拡張すれば三次元における「角度」を定義できる．

半径 $1$ の球面を考える．
任意の底面をもつ錐体を考えて，この頂点と球面の中心が重なるようにしたとき，球面と錐体の交わる部分の面積で立体角 (solid angle) を定義する．
立体角は無次元量であり単位はステラジアン $\mathrm{sr}$ を用いる．
球面の表面積は $4\pi$ であるから全立体角は

である．

立体角の計算をするためにも区分求積法を用いる．
球面を経線と緯線で区切って小さな（球面に沿った）長方形に分割する．
この長方形の経線方向の長さは $\mathrm{d}\theta$ であり，緯線方向の長さは $\sin\theta\mathrm{d}\varphi$ である．
したがって微小な長方形の面積は

で与えられる．
任意の錐体の立体角はこれらの総和でかける．
特に $\int^{\pi}_0\mathrm{d}\theta\sin\theta\int^{2\pi}_0\mathrm{d}\varphi=4\pi$ もわかる．
立体角は球面極座標で動径座標 $r$ を $1$ で固定した座標とも言える．

任意の有界な曲面 $S$ の立体角 $\Omega_S$ は，

によって計算できる．
$\boldsymbol{r}$ は微小面要素の位置ベクトル．
$\boldsymbol{r}/r$ は球面の法線ベクトル（大きさが $1$ で曲面に直交する向きを持つベクトル）であり， $\boldsymbol{n}$ は曲面の法線ベクトル， $\mathrm{d} S$ は曲面の微小面要素である．
$\mathrm{d} S\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{r}/r$ は曲面 $S$ 上の微小面要素からその面を通る球面への射影である．
$1/r^2$ はこの球面と半径 $1$ の球面との相似比である．