定積分

~ QuantumAtsuo

Prerequisite

この節では積分のグラフ上での意味を考えよう．
微分はグラフの接線の傾きを表していた．
微分の逆演算である積分はどのような意味があるだろうか．

区間 [t_i,\,t_{i+1}] における長方形の構成．（左）グラフより下側なるように作る（右）グラフより上側になるように作る．

そのためには積分の定義を深めておこう．
積分を面積によって定式化する．
連続な函数 x=f(t) を区間 [a,\,b] の間で N 個の区間に分割する．

そこから2通りの方法で長方形を作る．
分割した区間 [t_i,\,t_{i+1}] において f(t_i) と f(t_{i+1}) の2点あって(i)その小さい方を上底とする，(ii)その大きい方を上底とする，の2通りである．
そうして面積 (t_{i+1}-t_i)\min(f(t_i),f(t_{i+1})) の長方形と (t_{i+1}-t_i)\max(f(t_i),f(t_{i+1})) の長方形ができる．
函数 f と t 軸， t=a,t=b で囲まれる領域の面積 S はこの２種類の長方形の和によって，

で挟まれている．
ここで h は長方形の幅 (T-t_0)/N であり t_i=a+ih である．
また t_N=b である．
分割の数を無限に多くして N\to\infty としたとき，分割の幅 h は0に近づく．
これにともなって近似の精度が無限に良くなって２つの長方形の和が一致することがある．
このとき積分確定といい函数 x=f(t) の積分値が定義される（はさみうちの原理）．
実際には物理学に登場するほとんどの函数は積分確定となる．

そうしてこの極限によって積分演算を，

で定義する．
積分記号 \int の下付き添え字は積分区間の開始位置を表し，上付き添え字は終了位置を表す．
こうしてみると和の記号 \sum_{n=0}^Nh と積分記号 \int_a^b\mathrm{d} t が対応していることがわかる．
右辺のような極限で面積を求めるやり方を区分求積法という．
以上から函数 f の積分がそのグラフと t 軸で囲まれる領域の面積で定義された．
これを区間 [a,b] 上での f の定積分という．

定積分の基本的な性質を述べておこう．
上記では区間 [a,\,b] 上で必ず a\leq b となるように設定したが，対称性から逆にしても良い．
その際，積分結果は

を満たす．
積分が分割された長方形の面積の和で定義されているので，区間 [a,b] を2つの区間 [a,c] と [a,c] に分けて，

という和に分割可能である．
また線型性も有する，
f,\,g を区間 [a,\,b] 上で連続な函数， \alpha,\,\beta\in\mathbb{R} とすると，

では次にこの面積を求めるための演算である積分が微分の逆であることを示そう．
区間 [a,\,b] で函数 f が連続ならば最小値 m と最大値 M が存在する．
x=m と t 軸で囲まれる長方形の面積はグラフで囲まれた領域の面積より小さい．
また x=M と軸で囲まれる長方形の面積はグラフで囲まれた領域の面積より大きいので

が成り立つ．両辺 b-a>0 で割って

中間値の定理より，ある a\leq\tau\leq b が存在して，

を満たす．

いま，積分区間の左端を t=a に固定し，右端は t として自由に動かすことにする．
このとき t\geq a と，そこから微小に動かした t+h のところで細い領域をつくるとこの面積は底積分の性質から，

ここで S_a(t) は区間 [a,t] でグラフと t 軸に囲まれた部分の面積を表す t の函数． 中間値の定理からある t\leq\tau\leq t+h が存在して，

が成り立つ． 両辺を h でわって h\to0 とすれば，

左辺は微分の定義になっており， S_a(t) を微分すると f(t) に等しくなることを意味する．
逆に言えば， f(t) の原始函数は S_a(t) である．
すなわち f(t) の不定積分を F(t)+C とすれば，

である．ところで， t=a のときは明らかに S_a(a)=0 であるから，

ゆえに, C = -F(a) と積分定数が定まる．
さらに右端を t=b,\,(b\geq a) に固定すれば，

積分の定義より S_a(b) を積分記号を用いて

となって区間 [a,b] でグラフと t 軸に囲まれた部分の面積が，区間両端での原始函数の値の差で与えられる．

S_a(t) を定積分で書くと \int^t_a\mathrm{d} t'\,f(t')=F(t)-F(a) となる．

註）被積分函数では変数の重複を避けるために t ではなく t' を用いた．後の置換積分で見るように変数は何を用いても良い．

この両辺を t で微分すると

を得る．

たしかに函数 f を積分して微分すると元の函数に戻っている．
これは微分積分学の基本定理として知られている．

また微分して積分しても同様に元の函数に戻る：

これは区分求積法により簡単に示せる．
区間 [a,\,b] を N 個の微小区間にわけて

平均値の定理により区間 [t_i,\,t_{i+1}] においてある \tau_i が存在して

を満たす．これにより

t_{i+1}-t_i =(b-a)/N であり N\to\infty の極限をとると \tau_i \to a+i(b-a)/N なので区分求積法により示したい式が導かれる．

具体的な函数の積分を区分求積法によって求めてみよう．区間 [t_0,t_1] で1次函数 x=vt をとる．
原始函数は F(t)=vt^2/2 であり t 軸と囲まれる面積 S は積分計算によって

一方区分求積法からは，

和の公式を使うと，

であるから，

となって所期の結果を与える．
特に今の場合，グラフと t 軸で囲まれる領域は台形であり得られた結果は台形の面積の公式そのものである．

最後に置換積分の紹介をしておく．
ある場合には函数を積分をするときには変数を別のものに取り替えた方が計算しやすい場合がある．
ある函数 f の原始函数を F として

が成り立っているとする．
ここで t=g(s) という変数変換を考える．
合成函数の微分を思い起こすと

なので，両辺を区間 [s_a,\,s_b] 上で積分すれば

となる．ただし s_a,\,s_b は a=g(s_a),\,b=g(s_b) を満たす．
左辺では微分して積分すると元の函数に戻ることを適用し，

右辺では F の微分は f であることから結局，

置換積分

となる．一般に変数変換 t=g(s) によって t から s へ変換すると，積分区間が

と変換され， \mathrm{d} g/\mathrm{d} s の因子が付け加わる．

置換積分は次のような積分の場合に威力を発揮する：

上の積分で t=\sin\varphi とおくと分母が \cos\varphi と簡潔になることに気づく．
そのとき積分区間は，

と変換する．そして被積分函数には

の因子が加わり，

となる．

註）この積分の原始函数は逆三角函数とよばれるものであり，そのことに気づけばこのような置換積分を行う必要はない．

最後に定積分の方法をまとめておく．
区間 [a,b] 上で連続な函数 f の積分を

とかき，これは函数 x=f(t) のグラフと t 軸で囲まれる領域の面積に一致する．
[a,b] 上での f の原始函数を F とすると，定積分は

によって計算される．
函数 f から原始函数 F を求めるには部分積分や置換積分といった方法がある．

Problems

\textsc{Problem1. }

次の函数の積分を計算せよ：

\textsc{Solution. }

倍角の公式から明らかに，

2行目から3行目へは倍角の公式を再び用いた．

あるいは \cos t は \sin t の微分であることに注意すれば，

そこで新たな変数として s=\sin t とおくと，

この積分は容易に実行できて，

となって同じ結果を得る．

\textsc{Problem2. }

次の函数の積分を計算せよ：

ただし a,b\in(-\pi/2,\,\pi/2) とする．

\textsc{Solution. }

\sin t は \cos t の微分であるから変数変換 s=\cos t をおもいつく．
すると，

となって，

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