微分と極限

Prerequisite

微分

この節では極限と微分の両方を使った数学的道具を紹介する．

まず最初に次の定理を事実として認めよう：

有界性定理

$f$ が区間 $[a,b]$ 上で上に有界
$\quad\Rightarrow\quad$ ある実数 $m$ と $M$ が存在して任意の $t\in[a,b]$ において $m\leq f(t)\leq M$ .

$m$ と $M$ は区間 $[a,\,b]$ 内に存在するとは限らない．これは有界性定理として知られる．

この定理を強めた，

最大・最小値の定理

$f$ が区間 $[a,\,b]$ 上で上に有界
$\quad\Rightarrow\quad$ $f$ は $[a,\,b]$ 上で最大値と最小値を有する ,

も成立する．
有界性定理を利用して証明しよう．
有界性定理と実数の連続性より任意の $t\in[a\,b]$ と集合 $A=\{f(t)|t\in[a,\,b]\}$ に対して，

を満たす上限 $M$ が存在する．
今， $M=f(t)$ となるような $t$ が $[a,\,b]$ 上には存在しないと仮定しよう．
よって常に $f(t)\leq M$ であり， $M-f(t)$ が $0$ に等しくなることはない．
$f$ の連続性より， $F(t):=1/(M-f(t))$ を定義すると $F$ は $[a,\,b]$ 上で連続である．
有界性定理より $F$ は有界である．
一方で $M$ の最小性から任意の $\epsilon>0$ に対しある $\tau\in[a,\,b]$ が存在して，

すなわち

であり $F$ は有界ではない．
したがって $F$ に矛盾が生じるので，背理法により $M=f(t)$ となるような $t$ は $[a,\,b]$ 上に存在しなければならない．
よって $f$ は $[a,\,b]$ 上に最大値 $M$ を有する．
$-f$ に対して同様の議論を適用することで $f$ が最小値を有することもしたがう $\Box$ ．

1つ注意が必要なことは開区間では成り立たないことである．
たとえば函数 $x=t$ は開区間 $(a,b)$ 上に最大値も最小値も持たない．

最大値，最小値を取る点においては函数の微分の値が $0$ となることが示せる．

Rolleの定理

函数 $f$ が $[a,\,b]$ 上で連続かつ $(a,\,b)$ 上で微分可能とする．
さらに $f(a)=f(b)$ であるとき，

Rolleの定理は両端が等しい区間のどこかで必ず微分が $0$ となる点が存在することを主張する．
まず $f$ が定数函数の場合は任意の点で成立する．
$f$ がそれ以外の場合，最大・最小値の定理より（異なる値の）最大値と最小値を区間内にもつ．
$t=\xi$ で最大値 $f(\xi)$ をとる．
$a<\xi<b$ ならば $f(a)=f(b)<f(\xi)$ ．
$t<\xi$ においては，

を満たし極限 $t\to\xi-0$ をとれば左辺は微分の定義より

同様にして $t>\xi$ においては，

を満たし極限 $t\to\xi+0$ をとれば左辺は微分の定義より

となる．
以上のことから $f'(\xi)=0$ でなければならない．
$a<\xi<b$ ではない場合（つまり両端の点で最大値をとる場合），最小値となる点 $a<\eta<b$ を考えて同様の議論をすれば $f'(\eta)=0$ が導かれる $\Box$ ．

両端の値が等しくない $f(a)\neq f(b)$ の場合にも定理を拡張できる．

Cauchyの平均値の定理

2つ函数 $f,\,g$ は区間 $[a,\,b]$ 上で連続かつ $(a,\,b)$ 上で微分可能とする．
また任意の $t\in(a,\,b)$ で $g'(t)\neq0$ とする．
このとき，

証明のために函数

を定義すると， $F$ も $[a,\,b]$ 上で連続かつ $(a,\,b)$ 上で微分可能，さらに $F(b)=F(a)$ を満たす．
したがってRolleの定理により

これはとりも直さず

Cauchyの平均値の定理の特別な場合として $g(t)=t$ の場合は
$f$ が $[a,\,b]$ 上で連続かつ $(a,\,b)$ 上で微分可能ならば

が成立する．
こちらはLagrangeの平均値の定理として知られ，両端を結んでできる直線と平行となるような $f$ の接線が区間内に存在することを主張する．
また $f(b)=f(a)$ とすればRolleの定理がしたがう．

最後に不定形 (indeterminate form) の極限について議論しよう．
不定形とは $f(t)=g(t)=0$ のとき，あるいは $\lim_{t\to t_0}f(t) = \pm\infty$ かつ $\lim_{t\to t_0}g(t) = \pm\infty$ のときの極限