電磁気学の作用

Prerequisite

電磁場と粒子がある系の作用は次のように書かれる：

第1項は荷電粒子の作用，第3項が電磁場の作用，そして第2項が荷電粒子と電磁場の相互作用を表す．
第1項 $S_{\mathrm{mat}}$ は特殊相対論の節で導入した作用より，

である．
ここで $a$ は粒子を区別するラベルである．
また第3項は前節と同じ作用で，

では第2項の相互作用項とはどのようなものであろうか．
荷電粒子の運動方程式とMaxwell方程式両方を導くようにするには，

ととれば良いことがわかる．
積分の中の変数には注意しなければならない．
全空間で積分しているのは $x$ であり粒子の軌道 $x'_a(\tau)$ ではない．
場の変数 $x$ が荷電粒子の軌道上にきたときに相互作用して値をもつようにデルタ函数がはさまれているのである．
一方粒子の軌道はパラメータ $\tau$ で積分されているのはある瞬間での相互作用を軌道上の全ての点で足し上げるためである．
方程式を導くように相互作用を決めてしまうことは古典力学の範囲では恣意的にみえる．
しかしながら量子論ではこの相互作用の形はゲージ不変性とよばれる対称性を作用に課すことで自然に導かれる．

相互作用項はより簡潔な形に書き換えることができる．
荷電粒子の四元電流密度を

で定義する．
$\tau$ として時間 $t'$ をとり $\delta(ct-ct')$ を使って $t'$ 積分を実行すれば，

$\rho$ は荷電粒子たちの電荷密度であり，空間成分 $j^i$ は $i$ 方向の電流密度に一致する．
こうして，

となる．
この形ではもはや粒子描像にこだわる必要はなくなり，連続的に電荷が分布している一般のときにもこの相互作用が適用できる．
こちらの形の方が場との相性がよいが荷電粒子の情報は見えにくい．
荷電粒子の運動に着目したいときはデルタ函数を使って場の引数の $x$ 積分を先に実行してしまう．
すると，

これは粒子の軌道に沿った積分である．

こうして電磁気学，すなわち荷電粒子と電磁場の共存する系の作用は，

電磁気学の作用

と書かれることになる．

電磁気学の作用が定まったので実際に変分原理を適用して運動方程式を導いていこう．
形式的な議論をするために作用をLagrangianをもちいて，

と表しておこう．
今，作用にあらわれる基本変数は粒子の座標 $x'^{\mu}_a$ と場 $A_{\mu}$ とそれらの微分である．
これらを微小に変位させて $x'^{\mu}_a\mapsto x'^{\mu}_a+\delta x'^{\mu}_a,\,A_{\mu}\mapsto A_{\mu}+\delta A_{\mu}$ とする．
変位の1次までとると作用の変分は，