Isingモデルの平均場理論

Prerequisite

ではIsingモデルに対して統計力学の手法を用いて各種熱力学量を求めたり，その性質を調べていくことにしよう．
Isingモデルは一次元と二次元の場合には厳密解が知られているが三次元では厳密には計算できていない．
ここではまず任意次元の空間のIsingモデルについて平均場近似 (mean field approximation) を用いて計算していこう．

平均場近似とは最近接相互作用をスピン変数 $\sigma_a$ の平均値

と $\sigma_a$ の相互作用に置き換える近似である．
具体的にはまずスピン変数を

として期待値と，期待値からのずれ $\delta\sigma_a:=\sigma_a - \langle{\sigma_a}\rangle$ とに2つに分離する．
そして期待値のずれは小さく2次以上の項は無視できるとする．
IsingモデルのHamiltonianは

上の変形を相互作用の部分に代入して整理していくと

第1項の最近接ペアの和を計算するために1つのスピン $\sigma_a$ に着目する．
このスピンの最近接スピンの個数を $z$ とおく．
一次元では $z=2$ ，二次元正方格子では $z=4$ ，三次元正方格子では $z=6$ などなどで一般次元では $z=2d$ ある．
すると第1項は

と計算できる．
ただし $\sum_{a\in \mathrm{N.N.}}$ は $b$ を固定して格子点 $b$ におけるすべての最近接（Nearest Neighbor）格子点にわたる和を意味する（重複に注意）．
また $N$ はスピン（格子点）の総数である．

次に第2項については $\delta\sigma_a:=\sigma_a - \langle{\sigma_a}\rangle$ でスピン変数に戻し，同様の和の書き換えを行えば，

を得る．
これが平均場近似における有効Hamiltonianである．
いまスピンはあたかも有効外場

と相互作用するかのようになっている．
スピンは真の外部磁場と平均場 $Jz\mathfrak{m}$ と相互作用する．

系のHamiltonianが簡単化されたところで分配函数を計算していこう．
二準位系の分配函数は

平均場近似のもとでは容易に計算ができて

となる．
自由エネルギーは

次に磁化は一様外部磁場中の熱力学から

によって計算できる．
これを2通りの見方で考えよう．
まずIsingモデルのHamiltonianにおいて外部磁場 $\mathfrak{H}$ は $-\mathfrak{H}\sigma_a$ にのみ現れる．
そのため

によって計算するときは，指数函数の $e^{\beta\mathfrak{H}\sum_a\sigma_a}$ に作用し $\beta\sum_a\sigma_a$ が降りてきて

右辺はすなわち $N\langle{\sigma_a}\rangle=N\mathfrak{m}$ に等しい．
スピン自由度の平均値 $\langle{\sigma_a}\rangle$ はスピン1つあたりの磁化 $\mathfrak{M}/N$ に等しい．
この関係は平均場近似ではなく厳密に成り立つ式である．

もう1つは上の期待値を平均場近似Hamiltonianを用いて直接計算することによって求められて

を得る．

以上から

自己無撞着方程式

という $\mathfrak{m}$ に関する方程式が得られる．
ここで $\mathfrak{m}$ は $T,\,\mathfrak{H}$ の函数である．
この方程式は一般には熱力学量の間の関係を定める状態方程式であるが，平均場理論の文脈では自己無撞着方程式 (self-consistent eqation) と呼ばれる．

平均場近似の自己無撞着方程式の解の個数．青線のとき解は1つ，赤線のとき解は3つ．

平均場近似のIsingモデルは強磁性-常磁性転移の臨界現象を記述することができる．
この転移は外部磁場が印加されていないときに起こるのでまずは $\mathfrak{H}=0$ としよう．
次に2つのグラフ $y=\mathfrak{m}$ と $y=\tanh(a\mathfrak{m})$ の交点の問題を考えよう．
この2つは $a>1$ のとき交点は3つ存在し， $a\leq1$ のとき交点は1つだけとなる．
そして3つ存在するとき $\mathfrak{m}\neq0$ の2つの交点はちょうど原点対称な位置にある．
$a=Jz/(k_{\mathrm{B}}T)$ なので

とおけばこの温度 $T_c$ を境に解の個数が変わることになる．
そして $T>T_c$ で $\mathfrak{m}=0$ のみのときが常磁性相， $T<T_c$ で解が $\mathfrak{m}\neq0$ の解も存在するときが強磁性相に対応する．
そして $T=T_c$ が臨界点といえる．