実対称行列の固有値問題

Prerequisite

行列式

この節では行列に関する固有値問題を議論する．
固有値問題は物理において頻繁に現れる問題で，量子力学においてはまさに基礎方程式が固有値問題である．
ただしここでは一般論は議論せず実対称行列に限定する．
複素行列の固有値問題については量子力学の章で詳説する．

一般に $N$ 次正方行列 $A$ に関する固有値問題とは

を満たすスカラー $\lambda$ と零ベクトルでないベクトル $\boldsymbol{x}$ を求めることである．
その $\lambda$ の解を固有値 (eigenvalue) ， $\boldsymbol{x}$ の解を $\lambda$ に属する固有ベクトル (eigenvector) という．

右辺に単位行列が作用しているとして $\lambda I_N\boldsymbol{x}$ とすれば，

と変形できる．
この方程式で $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$ であるための条件は行列 $A-\lambda I_N$ に逆行列が存在しないことである．
よって

固有方程式

が成り立たなければならない．
この $\lambda$ に関する方程式を固有方程式という．
固有方程式は一般に $\lambda$ の $N$ 次の多項式でありその根は代数学の基本定理よりたかだか $N$ 個である．
重根がある場合は物理では縮退 (degeneracy) があるという．

固有方程式を解いて固有値 $\lambda_1,\cdots,\lambda_N$ を得たら，元の方程式 $A\boldsymbol{x}_i=\lambda_i\boldsymbol{x}_i$ を解いて固有ベクトル $\boldsymbol{x}$ を定めることができる．

この節では実対称行列に限定する．
対称行列とは転置をとっても不変であり， $A^{\mathrm{T}}=A$ を満たす行列のことである．
一方で転置して符号が反転する行列 $A^{\mathrm{T}}=-A$ は反対称行列という．
特に成分がすべて実数の対称行列を実対称行列という．

まず実対称行列の固有値は全て実数であることが示せる．
固有値方程式 $A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$ の両辺で複素共役をとると $A\boldsymbol{x}^*=\lambda^*\boldsymbol{x}^*$ が成り立つ．
このときベクトル $\boldsymbol{x}^*$ と $A\boldsymbol{x}$ の内積を取ると

一方で対称行列であることから，

2つを合わせると

となるが $\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{x}^* = \sum_i|x_i|^2>0$ なので $\lambda=\lambda^*$ でなければならない．

固有値が実数なので固有ベクトルも実ベクトルとして求まる．
今は縮退はないとして $N$ 個の固有値 $\lambda_1,\cdots,\lambda_N$ は全て相異なるとする．
2つの固有値 $\lambda_i,\,\lambda_j$ とそれぞれに属する固有ベクトル $\boldsymbol{x}_i,\,\boldsymbol{x}_j$ を考える．
ベクトル $\boldsymbol{x}_j$ と $A\boldsymbol{x}_i$ の内積を取ると

一方で対称行列であることから，

2つを合わせると

となるが $i\neq j$ なら $\lambda_i\neq\lambda_j$ なので $\boldsymbol{x}_i\cdot\boldsymbol{x}_j=0$ でなければならない．
すなわち異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する．
この直交性は縮退がある場合にも同様に成立する（証明略）．

固有ベクトルはスカラー倍の不定性がある．
そこで慣習的に固有ベクトルの大きさを $1$ にとることが多い： $\boldsymbol{x}_i\cdot\boldsymbol{x}_i=1$ ．この2つを合わせると実対称行列の固有ベクトルを

を満たすように選べる．

固有ベクトルを列にもつ $N$ 次正方行列 $U=(\boldsymbol{x}_1\,\boldsymbol{x}_2\,\cdots\,\boldsymbol{x}_N)$ をつくる．
この行列の転置 $U^{\mathrm{T}}$ との積をとると

両辺の行列式を取ると $\mathrm{det}\,(U^{\mathrm{T}}U) = (\mathrm{det}\,U)^2 = 1$ より $\mathrm{det}\,U\neq0$ なので $U$ は正則で逆行列 $U^{-1}$ が存在する．
$U^{\mathrm{T}}U=I_N$ の右から $U^{-1}$ をかけると $U^{\mathrm{T}}=U^{-1}$ がわかる．
$U^{\mathrm{T}}=U^{-1}$ となる行列を一般に直交行列 (orthogonal matrix) という．

さてこの直交行列 $U$ を使って $U^{\mathrm{T}}AU$ を計算すると，

となる．
固有ベクトルの直交性から結局

を得る．
実対称行列 $A$ の固有ベクトルからつくった直交行列 $U$ を使って $U^{-1}AU$ は対角成分に固有値が並びそれ以外は $0$ の行列を得ることができる．
これを行列の対角化といい，実対称行列の場合は必ず直交行列によって対角化可能である．
すべての行列が対角化可能ではないことに注意せよ．