懸垂曲線

Prerequisite

• 最速降下曲線

長さ ，線密度 のひもを一様重力場のもとで両端を固定して垂らしたときの曲線，懸垂曲線 (catenary) の方程式を求める．
この曲線を とおく．

両端を固定して垂らしたひも

ひもの微小区間が感じる重力ポテンシャルは，

は微小線素， はひもの両端の点を表す．
は質量線密度でいまは一様とする．
三平方の定理から，

として置換すれば，

ただしひもの長さは で一定だから，次の拘束条件が存在する：

この条件を書き換えて

を0に等しいとおく; ．
ひもは静止しているので運動項は存在しない．
したがって最小作用の原理により，上記拘束条件のもとで が最小となるようなものが実現される曲線である．

Lagrangeの未定乗数法より，

の極値問題と等価である．
代入して整理していくと，

ここで

とおいた．
に関する変分原理から， を「時間」と見立てたEuler–Lagrange方程式

が導かれる．
さらに は に陽に依存しないから，

は「エネルギー」のような によらない保存量である．
ここに の表式を代入すれば，

について解けば微分方程式，

が得られる．
変数分離をして両辺を積分する，

2行目へは変数変換

を行った．
したがって，積分定数を として，

ただし とおいた．
について解けば，

上式は符号について対称なので を適当に選べば結局，

したがって求める懸垂曲線の式，

を得る．

最後に含まれる未知定数 を決める．
座標軸をうまくとって懸垂曲線の最も低い点を原点に選ぶ．
このとき で かつ である．
これらから容易な計算により

がわかる．

拘束条件 より，

この式から を定めることができる．

懸垂曲線

以上からパラメータ とおいて

により懸垂曲線が表される．