作用の変分

~ QuantumAtsuo

Prerequisite

作用

について，最小作用の原理に従って変分をとるときは軌道の両端を固定するという境界条件があった．また時間はそのままで変えなかった．

一般には変分をとるとき境界条件を課す必要はなく，時間を任意の新しい時間に変えても良い．そこで一般の変分を

とおいて作用の変分を評価してみよう．

変換後に定義される作用は

であり， t'_0 = t'(t_0),\,t'_1 = t'(t_1) ． t \mapsto t'(t) = t + \delta T(t) を変数変換と思って積分変数を t' から t へ変えると，

Jacobian，Lagrangianをそれぞれ1次の微小量まで展開すれば

したがって作用の変分は

\delta Q_i,\,\delta \dot{Q}_i の項は注意が必要である．今は軌道と時間の両方をずらしているので \delta Q をそれらに分解したいと考えて

とする．前の2項は時間を固定して座標のずれだけを評価しているので（最小作用の原理のときと同じ）軌道の変分 \delta q_i(q,\dot{q},t') = \delta q_i(q,\dot{q},t) である．他方，後ろ2項は時間の変分 \dot{q}_i(t)\delta T である：

同様にして

\mathrm{d}t/ \mathrm{d} t' = 1-\delta\dot{T} であり， \delta Q の分解を代入して整理すれば

を得る．以上2式を作用の変分に代入して計算を進める．そのとき \delta\dot{q}_i= (\mathrm{d}/\mathrm{d} t)\delta q_i なので部分積分が適用できることを利用して，

\delta T の係数の中はLagrangianの時間の全微分どうしなのでキャンセルする．それゆえ，

作用の変分 (1)

を得る．あるいは後で便利なように後ろの境界項では \delta Q に戻して

作用の変分 (2)

と表すこともできる．

以上2式が作用の一般の変分の式である．

もし端点を固定し時間をずらさないのであれば \delta Q_i = \delta q_i,\,\delta T=0 であり，

となる． \delta S[q]=0 ならばふたたびEuler–Lagrange方程式が導かれる．

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