ゲージ対称性

Prerequisite

真空中のMaxwell方程式

Maxwell方程式はある特別な変換の下で不変であることがわかっている．
この不変性は電場と磁場がポテンシャルを用いて，

と書き表されたことに関係する．
Maxwell方程式は電場と磁場に関する方程式でありポテンシャル $\phi,\boldsymbol{A}$ はそれを解くための道具にすぎないはずである．
したがってたとえばベクトルポテンシャルを任意のスカラー函数 $\chi(t,\boldsymbol{x})$ を用いて， $\boldsymbol{A}\mapsto\boldsymbol{A}-\boldsymbol{\nabla}\chi$ と変換してみても，

となって磁場は不変なので物理法則としても不変と言える．
他方，この変換の下で電場は，

と変換され不変ではない．
しかし同時にスカラーポテンシャルが $\phi\mapsto\phi+\dot{\chi}$ と変換するのであれば，

となって不変である．
結局，Maxwell方程式は，

あるいは四元ベクトル表記では

ゲージ変換

という変換の下で不変であることがわかる．
この変換をゲージ変換 (gauge transformation)といい，Maxwell方程式はゲージ不変である．

このゲージ変換の存在は方程式を解いたり理論を構成する上で便利である．
つまり状況に応じてうまくスカラー函数 $\chi$ を選んでくることで，議論の見通しを良くしたり方程式

の形を簡潔にしたりできる．
$\chi$ を適当にとって $\phi,\,\boldsymbol{A}$ を一意に定めることをゲージ固定という．
Maxwell方程式がゲージ変換に対して不変であるのでどのようにゲージ固定をとっても導かれる結果は同じになる．

ゲージ固定の例をいくつか挙げよう．
一つ目はCoulombゲージとよばれるゲージで

Coulombゲージ

となるように $\chi$ を選ぶ．
実際 $\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\neq0$ である任意のベクトルポテンシャルに対して，

を満たすように $\chi$ を選べば良い．
この方程式はPoisson方程式であり無限遠で $0$ となる境界条件のもとで一意な解が存在する（後述）．
このゲージ固定の利点はスカラーポテンシャルが静電場の場合と同じになることである．
一般の電場ではGaussの法則は，

なのに対し，Coulombゲージを採用すると，

となる．
これは静電場に関するPoisson方程式と同じ形である．

次にLorenzゲージ，

あるいは

Lorenzゲージ

を紹介しよう．

註）スペルに注意．Lorentz変換のH. A. Lorentzとは別人のL. V. Lorenzに因るものである．カオスで有名なLorenz方程式はまた別人のE. N. Lorenzに因む．

これはLorentz共変な形のゲージ固定である．
四元ポテンシャルに対する方程式は，

となる．
スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルでは

という2つの対称性の良い方程式が得られる．
このゲージ固定をするためには任意の $A^{\mu}$ に対して，

を $\chi$ が満たせば良い．
しかしながらLorenzゲージではまだゲージを固定しきれていないことがこの方程式から見てとれる．
$f$ が方程式，

を満たしておれば，さらに $A_{\mu}\mapsto A_{\mu}-\partial_{\mu}f$ という変換を施してもLorenzゲージのための条件式は不変である．
またこれはゲージ変換なので $A^{\mu}$ に関する方程式も不変である．
よってLorenzゲージではまだこのような函数 $f$ の不定性を残しているのである．

最後に輻射ゲージ (radiation gauge) を紹介しておく（放射ゲージとも呼ぶ）．
これは電荷が存在しない場合，すなわち $\rho=0,\,\boldsymbol{j}=\boldsymbol{0}$ のとき使えるゲージ固定である．
Lorenzゲージの四元ポテンシャルは $\Box A^{\mu}=0$ を満たす $A^{\mu}$ に対してさらに

となるように変換する．
したがって $f$ として

と選べば $\Box\phi=0$ なので $\Box f=0$ も満たし，Lorenzゲージを保ったままゲージ変換を施せる．
輻射ゲージを採用するとスカラーポテンシャルは恒等的に $0$ であり

輻射ゲージ

となる．
このもとでMaxwell方程式は

のみで電場と磁場は

によって計算可能となる．
輻射ゲージは本質的には電荷がない場合のCoulombゲージと等価である．
本稿では電荷がない場合を特に区別して輻射ゲージと呼ぶことにする．

一様静磁場 $(0,0,B)$ におけるゲージ固定の方法として対称ゲージ $\boldsymbol{A}=(-By/2,Bx/2,0)$ やLandauゲージ $(0,Bx,0)$ などがある．
これらは量子論における古典電磁場の取り扱いで詳しく論じる．
また量子電磁気学(QED)において電磁場を量子化する際にはFeynmanゲージとよばれるゲージ固定を行う．
場の量子論においては電磁場よりもゲージ対称性を基本とするゲージ原理を採る．
物質場に対するゲージ原理の帰結として電磁場などのゲージ場 (gauge field) が登場する．