散乱問題; Coulombポテンシャル

Prerequisite

Coulombポテンシャル（斥力）による散乱；右図のように軌道を回転して観察する．軌道の回転がわかりにくい場合は $xy$ 座標軸の方を回転させてみるとよい．

Coulombポテンシャルによる散乱問題を考察しよう．
Coulombポテンシャル $V(r)=-\alpha/r$ があるときの粒子の軌道は

ここで，

であり $L$ は質点の角運動量， $m$ は質量， $E$ はエネルギーである．
初期条件を無限遠から速さ $v_{\infty}$ で入射させると $E=mv_{\infty}^2/2$ である．
散乱問題を考えるので引力 $\alpha>0$ の場合は $\epsilon>1$ の双曲線軌道の場合を考える．
斥力 $\alpha<0$ の場合は常に双曲線軌道となる．
漸近線は，

であるが，散乱角 $\theta$ はまさにこの2つの直線のなす角である．
ところがこの漸近線の式というのは双曲線を $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ の形で見たときのものである．
散乱理論の設定では双曲線軌道の片端が無限遠で $x$ 軸と平行になるような平面をとっていた．
それゆえに漸近線の式をそのような $xy$ 平面で見たときのものに変換しなければならない．
そのためには漸近線の片方の傾きが $0$ になるように軌道全体を原点周りに回転させれば良い．
ゆえに回転角度を $\delta$ とおくと，

が成り立つ．
座標変換の式は，

である．
新たな $x'y'$ 平面で見た漸近線の式は $\sin\delta=\sqrt{1-(1/\epsilon^2)},\,\cos\delta=1/\epsilon$ などに注意して，

と求まる．
ここでは2つの漸近線のうち傾きが正の方を選んだ．
この漸近線はたしかに $x$ 軸と平行で $\gamma\cot\delta$ だけ離れている（斥力ならば $x$ 軸の上側，引力ならば下側に位置する）．
新しい座標系において初期条件を時刻 $t=-\infty$ において $(x'(-\infty),\,y'(-\infty))=(-\infty,\,-b)$ かつ $(v_x'(-\infty),\,v_y'(-\infty))=(v_{\infty},\,0)$ とする．
これから，

とわかる．
角運動量が保存量なので，

が時間によらず一定である．
ここで $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_x+\boldsymbol{r}_y$ と各座標軸に平行な成分に分解すると，はじめの時刻においては $\boldsymbol{v}$ が $x$ 軸に平行なので $\boldsymbol{r}_x\times\boldsymbol{v}=0$ でなければならない．
したがって，

と求まる．
一方で回転角 $\delta$ と散乱角 $\theta$ の関係はグラフから読み取ることができて，

である．
三角函数の公式から $\tan[(\pi-\theta)/2]=\cot(\theta/2)$ であることを用いれば，

となって所期の衝突パラメータと散乱角の間の関係式が得られた．

断面積の公式へ代入して微分散乱断面積を求めてみよう．
衝突パラメータは $\theta$ にしか依存していないので $\mathrm{d}\Omega=2\pi\sin\theta\mathrm{d}\theta$ となって，

衝突パラメータの式を代入して微分を計算すると，

$\sin\theta=2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$ を用いると結局，

Rutherford散乱断面積

という結果が得られる．
これはRutherford散乱断面積と呼ばれる．
全散乱断面積は，

いまCoulombポテンシャルのソースは原点に固定している．
これはソースの質量 $M$ が非常に大きいため運動が無視できるという近似であった．
しかし厳密にははじめ静止していたソースにはいくらかのエネルギーが与えられている．
エネルギー保存則から質点が飛び去った無限遠での速さ $v_f$ とソースの速度 $V$ について