有限深さの井戸型ポテンシャル

Prerequisite

井戸型ポテンシャル

この節では有限深さの井戸型ポテンシャル

のエネルギー固有状態を座標表示で求めていく．
ただし $V_0>0$
前節で取り扱った井戸型ポテンシャルは $V_0\to\infty$ に対応する．

このポテンシャルではエネルギー固有値に関して2通り考えられる; 1つは $0<E$ でポテンシャルの井戸より上の場合，もう1つは $-V_0<E<0$ で井戸の中にある場合である．
しかしながらこの節では $0<E$ の状態は扱わず井戸の中にある場合 $-V_0<E<0$ にだけ注目する．

$-V_0<E<0$ の場合に $x>|L|$ の領域における波動函数について見ていく．
波動方程式は $V(x)=0$ なので

となる．
いま $E<0$ なのでこの方程式の一般解は

とかける．
領域 $x<-L$ においては $x\to-\infty$ で $\psi\to0$ でなければならないので $B=0$ の必要がある．
同様に $x>L$ においては $A=0$ の必要がある．
以上から波動函数を次の形に仮定できる:

ただし $k=\sqrt{2m(E+V_0)}/\hbar\in\mathbb{R}$ ．

ポテンシャルが偶函数なので $\psi(x)$ の偶奇性で場合分けして議論を進める．

(i). 偶函数 $\psi(x)=\psi(-x)$ の場合

これらより， $C=D,\,A=B$ で

となる．
次に $x=\pm L$ での $\psi(x)$ と $\psi'(x)$ の連続性より，

(1)

(2)

$(2)/(1)$ により，

(ii). 奇函数 $\psi(x)=-\psi(-x)$ の場合，

これらより， $C=-D,\,A=-B$ で

となる．
$x=\pm L$ での $\psi(x)$ と $\psi'(x)$ の連続性より，

(3)

(4)

$(4)/(3)$ より，

また波動函数の偶奇によらず $k,\,\kappa$ の定義からすぐに，

が恒等的に満たされていることがわかる．
これは $kL$ と $\kappa L$ の2次元平面における中心原点，半径 $v_0L$ の円の方程式である．
半径は井戸の深さに依存していて深いほど大きくなる．

以上の結果をグラフにすると次のようになる．

奇函数の場合が青線，偶函数の場合が赤線でグラフの交点が許されるエネルギー固有値．ここでは $v_0L=3$ の場合で6箇所存在している．

奇函数の場合が青線，偶函数の場合が赤線でグラフの交点が許されるエネルギー固有値．ここでは $v_0L=3$ の場合で6箇所存在している．

$-V_0<E<0$ のことから $kL,\,\kappa L$ は第一象限に限られる．
そしてこの範囲で円周と $kL\tan kL = \kappa L$ の交点が許されるエネルギー固有値である．
よってエネルギーは離散化される．

$kL$ が大きいほどエネルギーは大きい．
$kL > v_0L$ ，すなわち $E>0$ となる大きいエネルギーではポテンシャルの外へ出てしまい自由粒子となる（ゆえにエネルギー固有値は連続）．

$x<-L$ における波動函数に注目しよう．
波動函数は $\psi(x)=Ae^{\kappa x}$ である．

奇函数のときの(1)，(2)あるいは偶函数のときの(3)，(4)から，

これにより係数 $A$ は $C$ で表せて $C$ は全体の波動函数の規格化条件によって定めることができる．
偶奇によらず $x<-L$ における確率密度は

$x=-L$ での確率密度が $1/e$ になるまでの距離を侵入長 $\lambda$ として定義する:

これから $\lambda$ を $L$ の函数として表せば

を得る．
エネルギーが大きくなって $0$ に近づくと侵入長は限りなくのびていく．
すなわち自由粒子に近づいていく．
一方エネルギーが井戸の底に近づくにつれて侵入長は短くなっていく．
このように量子論の特徴としてポテンシャルの外でも粒子の存在確率は $0$ ではない．
これは古典的な粒子の描像と著しく異なる点である．
古典論ではポテンシャルの壁があったならば必ず転回点となり通り抜けることは決してない．