群の性質

Prerequisite

この節では前節で定義した群の性質について詳しく調べていく．

まずは群の定義に関する命題を示しておく．
$(G, \star)$ を群とするとき次の(i)-(iv)が成り立つ:

群の単位元 $e$ は一意である．
各 $x\in G$ の逆元は一意である．
積 $x\star y\in G$ の逆元は $(x\star y)^{-1}=y^{-1}\star x^{-1}$ である．
任意の $x\in G$ の逆元の逆元は $(x^{-1})^{-1}=x$ である．

(i)を示すために $G$ に単位元が2つ $e,e'$ が存在するとする．
このとき $e'$ が単位元であることから $e\star e'=e$ であり，他方で $e$ が単位元であることから $e\star e'=e'$ となる．
ゆえに $e=e'$ が導かれる．
次に(ii)を示すために $y,z\in G$ を $x\in G$ の逆元とする．
逆元の性質から $x\star y=y\star x= x\star z= z\star x=e$ が成り立つ．
これを用いて

がわかる．
1つ目の等号では単位元の性質，2つ目の等号では逆元の性質，3つ目の等号では結合律，4つ目の等号では逆元の性質，そして最後の等号では単位元の性質を適用した．
(iii)については直接の計算から

がわかるので積 $x\star y\in G$ の逆元は $y^{-1}\star x^{-1}$ である．

(iii)について，可換群の場合はあまり恩恵がないが非可換群の場合は意味がある．
たとえば一般線型群で行列の積 $AB\in \mathrm{GL}_N(\mathbb{R})$ の逆元は $B^{-1}A^{-1}$ で与えられる．

(iv)については逆元の定義 $x\star x^{-1}=x^{-1}\star x=e$ において $x$ と $x^{-1}$ の役割を入れ替えれば，これは $x^{-1}$ の逆元が $x$ であることを意味している． $\Box$

群 $(G,\star)$ に対して部分集合 $H\subset G$ を考える．
この $H$ が $G$ と同じ演算 $\star$ に関して群となるとき $(H,\star)$ を $(G,\star)$ の部分群 (subgroup) という．
部分群の判定法の1つとして次の定理がある．
$(H,\star)$ が $(G,\star)$ の部分群であることと $(H,\star)$ が以下の(i)-(iii)を満たすことは同値である:

$e_G\in H$ ： $G$ の単位元の存在
${}^{\forall}x,y\in H$ に対して $x\star y\in H$ ：演算が閉じていること
${}^{\forall}x\in H$ に対して $x^{-1}\in H$ ：逆元の存在

まず $(H,\star)$ が部分群であると仮定する．
すると単位元 $e_H\in H$ が存在する．
単位元の性質から $e_H=e_H\star e_G=e_G$ より(i)の $e_G\in H$ がわかる．
また群であることから(ii)の演算で閉じること，(iii)の逆元が存在することは定義より明らかである．
次に(i)-(iii)を仮定して $(H,\star)$ が部分群であることを示そう．
(ii)より $H$ は演算 $\star$ で閉じていて，(i)より単位元 $e_G$ と(iii)より各元の逆元が存在している．
結合律は $G$ が群であることから $H$ でも満たされる．
以上により $(H,\star)$ は群の公理を満たすことがわかる． $\Box$

もう一つの部分群の判定法としてこちらの定理も有用である：
$(H,\star)$ が $(G,\star)$ の部分群であることと

が成り立つことは同値である．

まず $(H,\star)$ が部分群であると仮定しよう．
任意の2つの元 $x,y\in H$ をとる．
$(H,\star)$ は群なので逆元 $y^{-1}$ やそれらの演算結果も $H$ の元である．
したがって $x\star y^{-1}\in H$ である．
逆に任意の元 $x,y\in H$ に対し $x\star y^{-1}\in H$ を仮定する．
$x=y$ とすると $x\star x^{-1}=e\in H$ なので単位元が $H$ に存在する．
ここから単位元と任意の元 $x\in H$ について $e\star x^{-1}=x^{-1}\in H$ となり， $H$ の各元に逆元が存在する．
それゆえ任意の元で $x\star (y^{-1})^{-1}=x\star y\in H$ となり，演算が閉じていることが示された．
以上により部分群の判定条件(i)-(iii)が示されたので $(H,\star)$ は部分群である． $\Box$

偶奇の群 $(\{+1,-1\},\times)$ は実数が乗法に関してなす群 $(\mathbb{R}\setminus\{0\},\times)$ の部分群である．
実際単位元は $+1$ であり演算が閉じていることと逆元の存在は明らかである．

$3$ の倍数全体の集合 $3\mathbb{Z}:=\{3n|\,n\in\mathbb{Z}\}$ は $\mathbb{Z}$ の部分集合である．
$3\mathbb{Z}$ は加法に関して $\mathbb{Z}$ の部分群になっていることが示せる．
任意の元 $x\in3\mathbb{Z}$ はある整数 $n$ を用いて $x=3n$ と書ける．
また $x$ の逆元は $x^{-1}=-3n$ である．
よって任意の2つの元 $x,\,y\in3\mathbb{Z}$ をとって $x=3n,\,y=3m,(n,m\in\mathbb{Z})$ とするとき $x+y^{-1}=3(n-m)\in3\mathbb{Z}$ である．
したがって $(3\mathbb{Z},+)$ は $(\mathbb{Z},+)$ の部分群である．
この事実はもっと一般化できて任意の整数 $N\in\mathbb{Z}$ の倍数の集合 $N\mathbb{Z}$ は加法に関して $(\mathbb{Z},+)$ の部分群になっている．

2つの群が与えられたときそれらの演算規則の間に対応関係を構成できる．
つまり2つの群が群として同じ構造を持っているかどうかを判定する道具を導入しよう．
まず2つの群 $(G_1,\star_1),\,(G_2,\star_2)$ に対して写像 $f\colon G_1\to G_2$ を考える．
任意の2つの元 $x,y\in G_1$ に対して写像 $f$ が

を満たすとき $f$ を群準同型写像 (group homomorphism) という．
準同型写像は演算を保っていて，先に演算をしてから $f$ で移しても，先に $f$ で移してから後で演算をしても同じ結果を得る．

準同型写像は物理学で2つの異なる空間で物理構造を保ってほしいときに便利である．
Noetherの定理にしたがうような連続な変換が群をなす場合，座標空間（または位相空間）から別の空間への準同型写像を用意すればその空間においてもNoetherの定理が適用できる．
つまり物理的に内容がよくわからない空間に自然に保存量を導入することが可能になる．
このような考え方は量子論や一般相対性理論で重要となる．

群準同型写像の性質を示しておこう．
$f\colon G_1\to G_2$ を群準同型写像とするとき

$G_1,\,G_2$ の単位元を $e_1,\,e_2$ とするとき $f(e_1)=e_2$ ．
任意の $x\in G_1$ に対して $f(x^{-1})=[f(x)]^{-1}$ ．

つまり群準同型写像は単位元と逆元の構造も保っている．
まず(i)を示すためには準同型性により

となることを用いる．
任意の元に逆元は存在するから $[f(e_1)]^{-1}\in G_2$ であり

を得る．
(ii)を示すには任意の元 $x\in G_1$ に対して(i)の結果を用いて

となるので逆元の一意性より $f(x)$ の逆元が $f(x^{-1})$ とわかる． $\Box$

2つの群 $(G_1,\star_1),\,(G_2,\star_2)$ の間の群準同型写像 $f\colon G_1\to G_2$ に逆写像 $f^{-1}\colon G_2\to G_1$ が存在し $f^{-1}$ も群準同型写像であるとき $f$ は群同型写像 (group isomorphism) という．
また2つの群は群同型 (group isomorphic) であるといい $(G_1,\star_1)\cong(G_2,\star_2)$ と表記する．

準同型写像，同型写像の例を見ていこう．

実は要素が2つの群は全て同型である．
単位元 $e$ と単位元以外の元 $x$ からなる群 $(\{e,x\},\star)$ を考える．
単位元の性質から $e\star x=x\star e=x$ である．
$e$ の逆元は自分自身であり $x$ の逆元は自分自身でなければならない; $x^{-1}=x$ ．
もし $x^{-1}=e$ とすると $x\star e=e$ となるが単位元の性質から $x=e$ となり $x\neq e$ の仮定に反する．
それゆえ演算規則は以下の表のように一意に定まってしまう：

要素が2つの群を2つ用意して $(\{e_1,x_1\},\star_1)$ と $(\{e_2,x_2\},\star_2)$ とすれば群同型写像 $f$ を $f(e_1)=e_2,\,f(x_1)=x_2$ としていつでも構成できる．

実数の群 $(\mathbb{R}, +)$ から正の実数の群 $(\mathbb{R}_{>0},\times)$ への写像 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{>0}$ として指数函数 $f(x)=e^x$ を考えよう．
指数函数は指数法則によって任意の2つの実数 $x,y$ に対して

が成り立つので群準同型写像である．
逆函数は対数函数 $f^{-1}(x)=\ln x$ であり

を満たすのでやはり群準同型写像である．
よって指数函数は群同型写像であり，群 $(\mathbb{R}, +)$ と $(\mathbb{R}_{>0},\times)$ は群同型である．

実数上の一般線型群 $\mathrm{GL}_N(\mathbb{R})$ から $0$ 以外の実数 $(\mathbb{R}\setminus\{0\},\times)$ の群を考える．
行列式は写像 $\mathrm{det}\colon\mathrm{GL}_N(\mathbb{R})\to\mathbb{R}\setminus\{0\}$ は行列式の性質から任意の正則行列 $A,B$ に対して