自由度

Prerequisite

力学の基礎

私たちを含めすべての物体は時間のながれる空間，時空間 (spacetime) に存在している．

物体は空間の中で時間の経過とともに動いたり動かなかったりする．
物体が或る時間に或る場所に存在するということを物理学では時刻 (time) と位置 (position) で表現する．
いつかのどこかに基準となるところを定めてやれば，「ある物がこの時刻にこの位置にあった」とか「ある物がこの位置にあったのはこの時刻であった」ということが数によって表現できる．

物の時刻を定めるのには一つの基準となる時刻があって，その時刻からどれだけ経過しているか（もしくはどれだけ過去か）を測りさえすれば定まる．
日常生活ではたいてい西暦0年1月1日を基準としている．

しかし，位置の場合は状況が異なる．
なぜならば物は三次元の空間に置かれたとき，基準となる位置（原点）から測らなければならない量の数は状況によって変わってくるからだ．

まず例として50m走を考えてみよう．スタート地点を原点とし，スタートの合図の瞬間を基準の時刻とする．そしてスタートから何秒後かのある瞬間を見たとき，走者がどの位置にいるかはスタート地点から走者までの距離を測りさえすればよく，この1つの値で走者の位置は定まったといえる．

では次に地球で考えてみる．ただし地球は完全な球形としよう．
今度は原点を地球の中心にとって，スタートの合図を基準時刻として何秒後かの或る瞬間を捉えてみる．
地球上を自由に歩き回る人がいるとすると，或る時刻にこの人のいる位置を特定するために測るべき量は経度と緯度の２つであろう．
経度や緯度は赤道と本初子午線を基準としてそこから測った二つの角度で指定する．

中心から地表面までの距離はその人がどこにいようが一定なので測るまでもない．
だから逆に言えば，地球が完全な球ではなく地球の地形，山や海溝を考えれば中心からの距離を測って指定しなければならない．
人間ではなく鳥や飛行機のように空を飛んだり，魚や潜水艦が海に潜るような運動でも位置を定めるには同じく3つの量，経度・緯度・中心からの距離（高度・水深）を測る必要がある．

このような物体の運動を記述する際，位置を定めるために各時刻で測らなければならない量の個数を自由度 (degree of freedom) という．

上の例で言えば，50m走の場合は1，完全な球状の地球の上を歩く人の場合は2となる．
三次元の真空を何の制約もなく運動する粒子（大きさを持たない点）の自由度は3である．
しかし粒子が2個あると物体の位置を定めるにはそれぞれ測らなければならないから自由度は $2\times3=6$ で，一般に粒子が $N$ 個あれば自由度は $3N$ となる．

2個の粒子が一定の長さを保った結合を成して分子のようになっている状態での自由度はどうなるであろうか．
まず片方の粒子の位置を定めるのに3つ測らなければならない．
後はもう一方の粒子がどの方向にくっついているかを測れば分子の位置は完全に定まってしまう．
したがって測らなければならない量はさらに角度2つ，全部合わせて5つ測れば良いことがわかる．
ゆえに自由度は $5$ である．
バラバラの2粒子のときの自由度が $6$ であったから分子になっているときは自由度が $1$ 少ない．