加速度

Prerequisite

速度が時間 $t$ を含む場合はどうであろうか．
速度を微分して，

という量を定義する．これは位置ベクトルの2階微分である．
この $\boldsymbol{a}$ を物体の加速度 (acceleration) という．

註）ある函数 $x=f(t)$ を $n$ 回微分したものを $f$ の $n$ 階微分といい，

とかく．2階微分は $x''$ ともかく．

加速度について直感的に理解しておこう．
私たちが歩いたり走ったり，車や飛行機あらゆるものがその速度を変化させようとするとき，加速もしくは減速している．初め静止していた人が歩き出したり，走っている車がブレーキをかけると，そこに速度の変化がある．
これが加速度の物理的意味である．
それは人間の足の筋肉によるものであり，また車が減速するのはブレーキ機構により生じるものである．
さらに地球が太陽のまわりを回転するのは太陽の重力によって少しずつ軌道が曲げられているからである．
これらに共通することは動くものに，なんらかの「力」が働いていることである．

この力によって加速度が生じ，速度ベクトルの変化が生じるようである．

加速度から位置ベクトルを求めてみよう．
加速度が時間の函数，

で与えられるとする．
速度ベクトルは $f_i(t)$ の原始函数を $g_i(t)$ とすれば，

ただし $C_x,\,C_y,\,C_z$ は積分定数．
さらに $g_i(t)$ の原始函数を $h_i(t)$ とすれば，

となる．
ただし $D_x,\,D_y,\,D_z$ は積分定数．

加速度ベクトルから位置ベクトルを求めるとすると $2\times3=6$ 個の積分定数が現れる．
これらを定めるには位置と速度に関する\textbf{初期条件} (initial condition) が必要がある．
つまり位置と速度の測り始めの時刻 $t=t_0$ での値 $\boldsymbol{r}=(x_0,\,y_0,\,z_0)$ と $\boldsymbol{v}=(v_{x0},\,v_{y0},\,v_{z0})$ を与える．
時刻 $t=t_0$ では上の結果がこれらの初期値に等しくなければならないという条件から（簡単のため $x$ 成分だけ），連立方程式