運動量保存則

Prerequisite

エネルギーの原理と保存力

2つ目の重要な保存量である運動量について議論しよう．
$N$ 個の質点のNewton方程式を考えその総和をとる：

両辺を初期時刻 $t_0$ から任意の時刻 $t$ までで積分すると，

左辺は容易に積分が実行できて，

ただし $\boldsymbol{v}_{a0}$ は初期時刻での $a$ 番目の質点の速度．つまり，

が成り立つ．ここで

力積

$\mathcal{I}$ のことを系に作用する力積 (impulse) という．

もし力が相互作用だけで外部からの力などを含まない場合，作用反作用の法則から力の和は打ち消し合い力積が $0$ となり，

運動量保存則

となってベクトル $\boldsymbol{P}$ は保存する．
これを運動量保存則といい，速度に質量を乗じたベクトル $\boldsymbol{P}$ のことを系の運動量 (momentum) という．
運動量と力積はエネルギーの原理における運動エネルギーと仕事に対応している．

簡単な例として1次元における2つの質点の運動量保存則を考えよう．
2つの質点ははじめは十分離れていて相互作用せず，質点1ははじめ速度 $v_0$ で静止している質点2に向かっていくとする．
やがてお互いの距離が十分近づくと相互作用が発生して2質点の速度に変化が生じる．
この様子は衝突のメカニズムを具体的に追求して運動方程式を立てて求められる．
今は衝突をおおまかに見て，その詳細は無視するが衝突後の再び質点どうしの相互作用がなくなった状況を考える．
衝突後の質点1と2の速度を $v_1',\,v_2'$ とする．
衝突の際に作用する力は相互作用のみだから運動量保存則が成り立つ：

ここで衝突に関して次の事実を経験則として紹介する．
物体が衝突するときその跳ね返り具合は物体の材質によっている．
ビー玉どうしはよく跳ね返るが，ビー玉をスポンジに衝突させたときはそれほど跳ね返らない．
また例えば衝突したとたんにくっついて一体となって運動を続ける場合もある．
この事実をふまえて2物体の跳ね返り具合を表すものとして次の量を定義する：

反発係数

これを物体1と2の間の反発係数 (coefficient of restitution) という．
$e=1$ の場合は完全弾性衝突といい，エネルギーの損失なく跳ね返る．
一方 $e=0$ の場合は定義から衝突後の2物体の速度は一致している．
これは一体となって運動する場合を表している．
このような衝突を完全非弾性衝突という．

静止した質点2に質点1を衝突させる場合は，

運動量保存則と併せて $v_1',\,v_2'$ に関する連立方程式を解けば，

質点2は当然正の向きに動き出すが，質点1は $m_1$ と $em_2$ の大小によって進む向きが変わる．
特に完全弾性衝突 $e=1$ で二つの質点の質量が等しい $m_1=m_2$ のときは， $v_1'=0,\,v_2'=v_0$ となって質点1の速度がそっくりそのまま質点2に移る．
この現象はカーリングやビリヤードなどで正面衝突した際に見られる．