Laplace–Runge–Lenzベクトル

Prerequisite

Coulombポテンシャル

Coulombポテンシャルのもとでの質点の運動には特別な保存則が存在する．
まず簡単にCoulombポテンシャル $V(r)=-\alpha/r$ について復習しよう．
運動方程式から導かれる質点の軌道は，

と与えられる．
$E$ はエネルギーで， $M$ は角運動量で，

と定義され（ $\boldsymbol{p}=m\dot{\boldsymbol{r}}$ は運動量），中心力場下では両方とも保存量である．
また $\epsilon$ は離心率といい，軌道の形を決めるパラメータである．
この節では引力 $\alpha>0$ で楕円軌道 $0\leq\epsilon<1$ の場合を考える．

次で定義されるベクトルは保存量である：

Laplace–Runge–Lenzベクトル

このベクトルはLaplace–Runge–Lenzベクトル，または短くLenzベクトルという．
以下ではLRLベクトルと呼ぶことにする．
LRLベクトルが保存量であることを示そう．
時間で微分すると，

となる．
第2項は角運動量保存則より落ちる．
第1項は運動方程式 $\dot{\boldsymbol{p}}=\boldsymbol{F} = -\boldsymbol{\nabla} V(r)$ を用いて，

角運動量の定義を代入して， $\boldsymbol{r}\times(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p})=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{p})\boldsymbol{r}-r^2\boldsymbol{p}$ より，

となる．
第3項の時間微分を計算すると，

となる．
ただし2つ目の等号では $\dot{r}=(\boldsymbol{r}\cdot\dot{\boldsymbol{r}})/r=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{p})/(mr)$ を用いた．
これは第1項とキャンセルし，結局 $\dot{\boldsymbol{A}}=\boldsymbol{0}$ がわかる．

LRLベクトルの大きさを計算しよう．

2つ目の等号では $(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})^2=A^2B^2-(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})^2$ であることと $\boldsymbol{p}$ と $\boldsymbol{M}$ が直交すること，スカラー三重積の公式を用いた．
最後の式で $(m\alpha)^2$ でくくると，LRLベクトルの大きさが，

であることがわかる．

近点（質点が最も焦点に近づく点）の座標を $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_P$ とおくと，この座標において $\boldsymbol{r}_P\cdot\boldsymbol{p}_P=0$ が成り立つ（ $\boldsymbol{r}_P=r_P\boldsymbol{e}_r$ であり，運動量は近点で転回するので動径成分は $0$ より導かれる）．
近点での角運動量の大きさは $M=p_Pr_P$ ，離心率は，

となる．
これらを用いて近点におけるLRLベクトルを計算すると，

がわかる．
つまりLRLベクトルは質点の運動の間，近点の位置ベクトルと同じ方向を向き，大きさは $m\alpha\epsilon$ のままのベクトルである．
近点が時間によらず動かないことは軌道の不変性を意味する．
すなわち軌道が閉じる．
これはLRLベクトルが保存するCoulombポテンシャルに特有な現象である．

LRLベクトルと位置ベクトルの内積をとると

左辺において $\boldsymbol{A}$ と $\boldsymbol{r}$ がなす角を $\theta$ とおけば $|\boldsymbol{A}|r\cos\theta = m\alpha\epsilon r\cos\theta$ となる．
一方右辺ではスカラー三重積の公式から $(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{M})\cdot\boldsymbol{r}=M^2$ なので