Prerequisite
系のHamiltonianが
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-001.png?w=208)
のように既知の項 と微小パラメータ
がかかった時間依存する摂動項
でかけるとする.
に関しては定常な固有値と固有ベクトル
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-002.png?w=512)
がわかっている.
ここで は摂動を受けていない量であることを明示している.
簡単のため縮退はないと仮定しておこう.
初期状態を固有ベクトル としてその任意の時刻における時間発展は相互作用描像で
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-003.png?w=704)
と書ける.
ただし は相互作用描像における摂動項で
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-004.png?w=764)
と定義される. を摂動なしの固有状態で展開して
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-005.png?w=302)
とするときの係数 は
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-006.png?w=598)
によって定義される.
言い換えるとこの係数は相互作用描像の時間発展演算子 の行列要素である.
は小さいのでその冪展開の最初の2項を見てみよう.
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-007.png?w=606)
とおくと正規直交関係から であり,
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-008.png?w=704)
である.
摂動項をSchrödinger描像に戻せば
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-009.png?w=570)
となる.
こうして一次近似でのエネルギー固有状態の摂動による時間発展が
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-010.png?w=750)
と求まった.
第1項と第2項のうち の項は元のエネルギー固有状態である.
第2項のうち の項は初期状態
が別のエネルギー固有状態へ遷移する確率の重みを表しているので
は状態
から
への遷移振幅 (transition amplitude) と呼ばれる.
つまり と
に分けて
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-011-1.png?w=594)
と書ける.
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2023/06/puturb-004.jpeg?w=1024)
摂動が有限時間だけはたらく場合を考える.
このとき初期状態を十分過去 で用意すれば摂動のないときの定常状態
に選べる.
また十分未来 でも摂動の影響がないので一般に定常状態
の重ね合わせの状態にあると仮定できる.
時刻 における任意の状態
においてエネルギー固有値が
(
)である確率はBornの確率規則から
で計算される. Schrödinger描像から相互作用描像
へ移せばこの確率は
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-012.png?w=624)
と書き換えられる.
一次までの式を適用して位相因子が落ちることに注意すれば
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-013-2.png?w=694)
となるので確率 は状態
から
への遷移確率と呼ばれる.
摂動が周期的な場合
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-014.png?w=400)
を考えよう. は時間に依存しない演算子であり,
は自己共役
である.
の行列要素は
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-015.png?w=696)
である.
一次の遷移振幅は
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-016.png?w=798)
ここで表記の簡単のために
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-017.png?w=260)
とおいた.
時間 の積分は容易に実行できて
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-018.png?w=802)
摂動計算においては は
に比べて小さくなければならない.
したがって摂動論が有効であるためには分母 が
に近い値になってはいけない.
すなわち少なくとも任意の に対して
![](https://storytellphys.wordpress.com/wp-content/uploads/2022/12/time-dep-perturbation-019.png?w=214)
が満たされなければならない.