Fourier展開の性質

Prerequisite

Fourier展開

区間 $[-\pi,\,\pi]$ における自乗可積分かつ連続な函数 $f$ のFourier展開は

であった．
ここで各係数は

によって与えられる（ $a_n$ は $n=0$ も含む）．
前節の証明では函数 $f$ は区間内で常に連続であることを要求したが，実は $f$ が有限個の不連続点を持っていてもFourier展開は可能である．
そのような高々有限個の不連続点をもちそれ以外で連続な函数は区分的に連続 (piecewise-continuous) とよばれる．

もし函数 $f$ が区間内の点 $x=x_0$ において不連続とし，左極限と右極限には有限の飛び

が存在するとする．
不連続点以外の任意の点 $x$ ではFourier級数は $f(x)$ に収束する．
しかし不連続点においてFourier級数は左右の極限値の平均値

に収束する．

Fourier展開の完全性の証明において函数 $f$ の連続性を用いたのはCesàro平均との差

の評価で積分区間を分割する部分であった．
このうち十分小さな区間では $|f(\xi + x) - f(x)|<\epsilon$ と評価できることに連続性を用いた．
いま不連続点においては $f(x)$ の代わりに $\bar{f}(x_0)=[f(x_0+0)+f(x_0-0)]/2$ に取り替えて

を評価しよう．
左極限の定義より任意の $\epsilon>0$ に対してある $\delta>0$ が存在して，範囲 $0<\xi<\delta$ において $|f(\xi+x_0)-f(x_0-0)|<\epsilon$ を満たすことができる．
右極限も同様に，範囲 $-\delta<\xi<0$ において $|f(\xi+x_0)-f(x_0+0)|<\epsilon$ を満たすようにできる．
三角不等式を用いて

と分解する．
左極限に関する第1項については積分区間を

と分割すれば，連続な場合と全く同じ評価が可能で $N\to\infty$ で $0$ へ収束することが示せる．
第2項の右極限についても同様．
したがって不連続点においては $\sigma_N(x_0)\to\bar{f}(x_0)$ であり，これはとりもなおさずFourier級数が $\bar{f}(x_0)$ に収束することを意味する．
もちろん連続な点 $x_0$ においては $\bar{f}(x_0)=f(x_0)$ なのでこの証明は連続な場合も含んでいる．