剛体の解析力学

Prerequisite

剛体の運動は並進と回転の6つの自由度で記述できる．それらは運動方程式，

剛体の運動方程式

を満たす．ここで $\boldsymbol{r}_G$ は慣性基準から見た剛体の重心座標， $M$ は剛体の質量， $\boldsymbol{F}$ は剛体に働く合力． $I$ は慣性モーメントテンソル $I_{ij}$ を並べた行列， $\boldsymbol{\omega}$ は剛体の角速度ベクトル， $\boldsymbol{N}$ は剛体に働く力のモーメントの和である．

剛体の解析力学を議論するために，剛体の運動方程式を導くようなLagrangianを構成しよう．

剛体の自由度は6つある．そのうち3つは並進運動に関するもので重心の座標 $\boldsymbol{r}_G$ が対応する．もう3つは剛体の回転運動に関するもので普通はEuler角 $\psi,\,\theta,\,\phi$ を対応させる．それゆえ剛体のLagrangianの基本変数は $\boldsymbol{r}_G$ と $\psi,\,\theta,\,\phi$ ，さらにこれらの時間微分となる．

剛体の運動エネルギーは，

で与えられる．第1項が重心の並進エネルギー，第2項が重心回りの回転エネルギーを表している．

剛体は質点の集まりなのでLagrangianは，質点との類推から，

で与えられると考えられる．ここで $V$ は剛体内の各質点が感じるポテンシャルエネルギーの総和である：

ここから剛体の運動方程式が導かれることを示したいが，そのために少し復習と準備が必要となる．

剛体の回転エネルギーは角速度 $\omega_i$ で書かれているが

角速度ベクトルとEuler角の関係式

を用いてEuler角で書き直せる．
ただし $\boldsymbol{e}_{\xi},\,\boldsymbol{e}_{\eta},\,\boldsymbol{e}_{\zeta}$ は剛体に固定された座標系の基本ベクトル．
この座標系，慣性主軸においては慣性モーメントテンソルが対角化され $I_{ij} = \mathrm{diag}\,(I_{\xi},I_{\eta},I_{\zeta})$ ．
よって回転の運動エネルギーは

剛体内の任意の点 $\boldsymbol{r}$ について， $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_G+\boldsymbol{r}'$ と分解する．
$\boldsymbol{r}'$ は回転運動を記述し固定座標系では $\boldsymbol{r}'=\xi\boldsymbol{e}_{\xi}+\eta\boldsymbol{e}_{\eta}+\zeta\boldsymbol{e}_{\zeta}=\sum_{\alpha}x_{\alpha}'\boldsymbol{e}_{\alpha}$ と展開される．
時間 $\delta t$ の間に剛体は $\delta\theta = \dot{\theta}\delta t,\,\delta\phi = \dot{\phi}\delta t,\,\delta\psi = \dot{\psi}\delta t,$ だけ微小回転する．
このとき微小変位 $\delta \boldsymbol{r}'$ は $\boldsymbol{\omega}\delta t\times\boldsymbol{r}'$ に等しい．

それゆえ $\boldsymbol{\omega}$ の成分をEuler角で表せば，

と書ける．この関係式から

が得られる．

準備が整ったのでEuler–Lagrange方程式を調べていこう．

剛体の基本変数の変分は $\delta\boldsymbol{r}_G$ と $\delta\theta,\,\delta\phi,\,\delta\psi$ である．
これにより剛体内の質点の軌道は $\boldsymbol{r}\mapsto \boldsymbol{r} + \delta\boldsymbol{r}_G + \delta\boldsymbol{r}'$ とずらされる．
これに伴いポテンシャルは $\mathscr{V}(\boldsymbol{r})\mapsto \mathscr{V}( \boldsymbol{r} + \delta\boldsymbol{r}_G + \delta\boldsymbol{r}')$ と変化する．