Grassmann変数の解析力学*

通常の数はたとえば $xy=yx$ を満たす．
すなわち数 $x$ と $y$ は交換しても良い．
Grassmann数とよばれる数は交換すると符号が反転する．
$\psi$ と $\chi$ をGrassmann数とすると，

が成り立つ．
反交換子 $\{A,\,B\}=AB+BA$ を用いれば，

とかける．
$\psi=\chi$ のときには $\psi^2=0$ となりGrassmann数は1次の冪までしか許されない．
Grassmann数と区別するために普通の数のことを可換数と呼ぶことにする．

$f(\psi)$ をGrassmann数 $\psi$ を変数にもつ函数としよう．
$f$ の値自体は可換数としよう．
このとき函数 $f(\psi)$ は一般に，

とかける．
ただし $a$ は可換数， $b$ はGrassmann数の定数である．
$b$ と $\psi$ の順番に注意せよ．
Grassmann数の場合 $\psi^2=0$ なので2次以上の項が全て落ちる．
言い換えればGrassmann変数の函数のTaylor展開は常に上の形である．
たとえば指数函数は，

と定義される．

可換数値の2変数函数では2次の項までが許される：

ただし $a,c$ は可換数， $b_1,\,b_2$ はGrassmann数である．
ここから多変数函数への拡張も容易であろう．

ここまでGrassmann数は暗に実としている．
すなわち複素共役をとると $\psi^*=\psi$ ．
2変数の積の複素共役については

と定義する．
すると2つの実のGrassmann変数 $\psi_1,\,\psi_2$ に対しては

となり，積 $\psi_1\psi_2$ は純虚な可換数である．

微分は可換数と同様にTaylor展開の1次の係数で定義する．
しかしTaylor展開の式に見るように符号の任意性がある．
そこで $\psi$ による左微分を

で定義する．
そして右微分を，

と定義する．
この規則は微分をGrassmann数のように思うとわかりやすい．
微分が係数 $b$ を飛び越えて $\psi$ に作用するときに $-1$ が余計にかかるのである．
以下では基本的に左微分を用いる．

ある粒子の軌道がGrassmann変数 $\psi(t)$ で記述されているとしLagrangianを $L=L(\psi,\,\dot{\psi})$ とする．
Lagrangianは実の可換数としよう．
1変数の場合，Lagrangianは2次以上の項を持つことができない．
たとえば $\psi\dot{\psi}$ の項をつくってもこれは $\psi^2=0$ の時間微分だから常に $0$ である．
1次の項しかないLagrangianは停留点を持たず意味を持たない．

次に2変数の場合 $\psi=(\psi_1,\psi_2)$ を考える．
このときは2次の項を作れる．
まずは微分のない項として $i\psi_1\psi_2$ がある．
Lagrangianは実数だから $i$ をかけて実数にしておく．
あとのことを考えて反対称化して

としておく．
ここで $\epsilon_{ab}$ は2次元のLevi-Civita記号で，同じ添字が現れたときは和をとっているものとする．

微分が2つある項 $i\dot{\psi}_1\dot{\psi}_2$ についてはHesse行列が

でありその固有値が $\pm1$ なので極小値をもたず物理学的に不適切であることがわかる．
微分が1つの項については $i\psi_1\dot{\psi}_2$ と $i\dot{\psi}_1\psi_2$ は許される．
ただしこの2つは部分積分で境界項をおとせば互いに移り合う．
そこで実対称行列