正準方程式

~ QuantumAtsuo

Prerequisite

この章ではもう一つの力学の形式である正準形式 (canonical formalism) あるいはHamilton形式と呼ばれる理論を見ていく．

正準形式はLagrange形式より見た目も数学的にも美しくまとめられる．
統計力学や量子力学は正準形式を出発点にする．

まずLagrange形式から出発して正準形式の基礎方程式を導いてみよう．
一般にLagrangianは位置，速度と時間の函数であった．
Lagrangianの全微分をとってみると，

q_i(t) がEuler–Lagrange方程式を満たすとすると，

となる．（保存するかどうかは別として）一般化運動量の定義は，

であったから，

と書き換えられる．ただし p_i が q_i,\,\dot{q}_i,\,t の函数であることに注意せよ．

運動量の定義式は \dot{q}_i について解けると仮定して，

が得られたとしよう．そして次のような函数を定義しよう：

Hamiltonian

右下は， \dot{q_i}=\dot{q}_i(q,p,t) を代入して H の定義式に \dot{q}_i が陽に現れないようにした，ということを示す．

今度は H の全微分をとってみると，

\mathrm{d} L の式を代入すれば結局，

これより H という量は位置とそれに対応する運動量の函数 H(q,p,t) になっている． H を系のHamiltonianという．

またここで行った独立変数の取り替えを一般にはLegendre変換という．Lagrangianの独立変数は位置と速度であったものがLegendre変換によってHamiltonianでは位置と運動量に置き換わっているのである．Legendre変換については次の節で詳細を述べる．

Hamiltonianの全微分は，

時間を固定して二式を比較してみれば次の 2N 個の方程式が得られる：

正準方程式

これらを正準方程式 (canonical equations) あるいはHamilton方程式という．

この方程式は位置と運動量について非常に対称性が良い．そういう意味で正準という．また (q,p) の組を正準変数といい正準形式での基本変数として扱う．

一般のポテンシャル V(x) の系のLagrangian

から正準方程式を導いてみよう．運動量は p=\partial L/\partial v =mv なので

これから導かれるHamilton方程式は，

第1の式から p=m\dot{x} であり，これを第2の式に代入すれば，

となってNewton方程式を再び得る．

以上のことは次元を増やしても同様に成り立つ．たとえば3次元の N 個の質点のLagrangianに対応したHamiltonianは，まず直交座標では

ただし p_{ai}=m_a\dot{x}^i_a ．

円筒座標では，

ただし p_{ar}=m_a\dot{r}_a,\,p_{a\theta}=m_ar_a^2\dot{\theta}_a ．

最後に球面極座標では，

ただし p_{a\varphi}=m_ar_a^2\sin^2\theta\dot{\varphi}_a ．

Problem

\textsc{Problem1. }

1次元の調和振動子の系のLagrangian，

からHamiltonianを求め，正準方程式を導出せよ．

\textsc{Solution. }

運動量は p=\partial L/\partial v = mv ．定義より，

となる．よって正準方程式は，

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