離散的変換の表現論

Prerequisite

対称性

この節では量子論における離散的な変換に対する対称性を議論する．
連続的な対称性はNoetherの定理と連続が群の表現論によって整合性が取れていることを見た．
離散的な対称性としてここではパリティ対称性と時間反転対称性を議論する．

[パリティ対称性]

パリティ変換は空間座標の1つの符号を反転する変換である:

$\mathcal{P}_x$ は $x$ 軸を反転させるパリティ変換．
パリティ変換は鏡映変換とも呼ばれこれはちょうど $yz$ 平面に鏡を置いて反転させたと解釈できる．
鏡の向きは任意であるから回転させて反転させてもパリティ変換となる．
つまり任意の $O\in\mathrm{SO}(3)$ をとって

もパリティ変換である．
重要な性質として $\mathrm{det}\,O=+1$ より $\mathrm{det}\,(\mathcal{P}_xO)=-1$ である．
さらに $\mathcal{P}_x^2=I_3$ ， $\mathcal{P}_x^{\mathrm{T}}=\mathcal{P}_x$ なので転置行列について

となる．
つまりパリティ変換は直交行列だが回転行列（特殊直交行列）ではない．
$O$ をうまくとって

とできる．
つまり三次元では3つの軸をいっせいに反転する変換 $\boldsymbol{x}\mapsto-\boldsymbol{x}$ はパリティ変換である

註）二次元では2つの軸の反転変換は $180^{\circ}$ の回転となってパリティ変換ではない

以下ではこの $\mathcal{P}$ を使って量子論への表現を議論していく．

パリティ変換 $\mathcal{P}$ に対応したユニタリ変換を $\hat{\mathcal{P}}$ として

を満たすとする．

任意の直交行列 $O\in\mathrm{O}(3)$ に対して

を仮定しておけば任意の回転行列とパリティ変換の積も準同型性を保つことになる．
すなわち任意のパリティ変換 $\mathcal{P}O$ に対して

とできる．

座標のオブザーバブルとの交換子 $[\hat{x}_i,\hat{\mathcal{P}}]$ についてみていく．
任意の $|{\boldsymbol{x}\rangle}$ に作用させるとパリティ変換の定義より

よって $\hat{\mathcal{P}}^{-1}=\hat{\mathcal{P}}$ なので

がわかる．
オブザーバブルも同様にパリティ変換される．
運動量演算子についても同様で

が成り立つ．

次に角運動量のパリティ変換について見てみよう．
古典論では定義 $\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}$ なのでパリティ変換で不変である．
このようなベクトル量は擬ベクトル（または軸性ベクトル）とよばれる．
オブザーバブルの変換則を求めるには準同型性を利用して