空間回転変換の表現論

Prerequisite

古典力学において回転変換に対する対称性は角運動量保存則に対応していた．
量子論における回転変換を議論しよう．
こちらも並進変換と同様の過程をたどっていくことにする．
回転変換は古典論の空間 $\mathbb{R}^3$ では $\mathrm{SO}(3)$ という線型群の元によって表されていた．
$\mathrm{SO}(3)$ の元は直交行列 $O^\mathrm{T}O=I_3$ でかつ $\mathrm{det}\,O=+1$ を満たすような行列全体の集合である:

そして3つの $3\times3$ 行列の生成子 $S_i$ によって任意の元が書けた．
すなわち，

とかける．
そしてこの生成子は交換関係 $[S_i,\,S_j]=\epsilon_{ijk}S_k$ を満たすのであった．
この $O$ に対応したユニタリ変換を $\hat{U}(O)$ として

を満たすとしよう．
そして同様に以下を仮定する:

この性質によって続けて回転する変換もうまく表現される．

座標のオブザーバブルとの交換子 $[\hat{x}_i,\,\hat{U}]$ について見ていく．
任意の $|{\boldsymbol{x}\rangle}$ に交換子を作用させると $\hat{U}$ の定義より，

すなわち，任意の $|{\boldsymbol{x}\rangle}$ に対して

が成り立つ．
ここで $\delta x_i=\sum_j(O_{ij}-\delta_{ij})x_j$ とおいた．
$x_j$ は $\hat{x}_j|{\boldsymbol{x}\rangle}$ の固有値だから演算子に置き換えて $\delta \hat{x}_i=\sum_j(O_{ij}-\delta_{ij})\hat{x}_j$ とする．
左から $\hat{U}^{-1}(O)$ をかければ，

が成立する．
つまり座標のオブザーバブルはユニタリ変換 $\hat{U}(O)$ によってたしかに空間回転されている．

微小回転 $O=I_3+\delta\theta$ を考えよう．
$\delta\theta$ は微小な要素をもつ反対称行列で独立な $3$ 成分を持つ．

註） $O$ が直交行列で $O^{-1}=O^t$ を満たすことから，逆の微小変換 $I_3-\delta\theta$ とすると， $I_3-\delta\theta=I_3+\delta\theta^{\mathrm{T}}$ より，

を満たさなければならない．

これでTaylor展開すれば

とおける．
ここで $\hat{T}_{ij}$ は反対称な演算子である．
左辺の $1/2$ は後の都合で入れたものである．

座標のオブザーバブルの微小回転変換の左辺は

であり他方で右辺において同じ精度で $O_{ij}=\delta_{ij}+\delta\theta_{ij}$ なので

となる．
$\delta\theta_{jk}$ は任意の反対称行列だから右辺を $j,\,k$ について反対称化して

が得られる．
あるいは反対称性より独立な成分は3つだけなので $\hat{T}_{jk}=\sum_{l}\epsilon_{jkl}\hat{T}_l$ とおいて，右辺のKroneckerのデルタはLevi-Civita記号の積でかけることに気付けば

を得る．
$\hat{T}_i$ として角運動量演算子 $i\hat{L}_i/\hbar$ に選べば（ $-1$ を除いて）同じ交換関係を満たすことがわかる．

運動量演算子についても同様にして任意の $|{\boldsymbol{x}\rangle}$ に対して

が導ける（問題1参照）．
運動量も3次元のベクトルとして回転する．
またこれは $\hat{x}$ と同じ関係なので，微小変換の式を代入すれば交換関係

が得られる．

準同型性から $\hat{U}(O^{-1})\hat{U}(O')\hat{U}(O)=\hat{U}(O^{-1}O'O)$ が成り立つ．
微小変換の式 $O'=I_3+\delta\theta'$ を代入して $\delta\theta$ の一次まで見れば右辺は，

と展開できる．
よって任意の微小な反対称行列 $\delta\theta'$ について

が導かれる．
この式の右辺は $\hat{T}_{ij}$ が3次元の2階テンソルのように回転変換することを表している．
さらに $O$ も微小変換 $O=I_3+\delta\theta$ とおいて代入すると，

$\delta\theta$ の反対称性から右辺の $i$ と $j$ の入れ替えに関して対称な成分はおちる．
そのため $\delta\theta$ で比較するときには右辺の括弧の中を反対称化しておく必要がある．
こうして回転変換の生成子の交換関係，

が得られた．
独立な3成分の関係に書き換えるために再び $\hat{T}_{jk}=\sum_{n}\epsilon_{jkn}\hat{T}_n$ とおいて両辺を $\epsilon_{jkm}$ と縮約を取れば $\sum_{j,k}\epsilon_{jkm}\epsilon_{jkn}=2\delta_{mn}$ により