Diracのガンマ行列

Prerequisite

前節では相対論的自由粒子に対するDirac方程式を導いた:

ここに現れる $\gamma^{\mu}$ は単なる数ではない抽象的なものだが，Dirac代数からその表現行列を得ることが可能である．
それらをDiracのガンマ行列という．
Dirac代数を改めて行列表記で，

とおく．
右辺の $I$ は単位行列である．
このDirac代数を満たす $\gamma^{\mu}$ たちの表現行列の満たすべき性質について調べていく．
$\mu=\nu$ のときには，

$\mu\neq\nu$ のときには，

4つの固有値方程式を $\gamma^{\mu} |{\psi}\rangle=\lambda^{\mu} |{\psi}\rangle,\,(\lambda^{\mu}\in\mathbb{C})$ とすると，

このことから固有値は $\lambda^{\mu}=(\pm1,\pm i,\pm i,\pm i)$ となる．

また各ガンマ行列のトレースをとると，

よって $\mathrm{tr}\,(\gamma^0)=0$ ．
ただし2つ目のイコールではガンマ行列の性質を用い，3つ目のイコールではトレースの性質 $\mathrm{tr}\,(AB)=\mathrm{tr}\,(BA)$ を使った．
同様にして，

よって $\mathrm{tr}\,(\gamma^i)=0$ となる．
まとめて，

任意の $n$ 次正方行列 $A$ はある正則行列 $P$ が存在して $P^{-1}AP$ をJordan標準形にすることができる．
このとき対角成分は $A$ の固有値が並ぶ．
いまガンマ行列をJordan標準形に変形することを考える．
各ガンマ行列に対して $P_{\mu}^{-1}\gamma^{\mu}P_{\mu}$ をJordan標準形とするとトレースの性質から，

よってガンマ行列の固有値の和が $0$ に等しいことを意味する．
ガンマ行列が奇数次の正方行列と仮定すると $n=2k+1$ とかけて，

ところが各 $\lambda^{\mu}_i$ は $\pm1$ あるいは $\pm i$ であったので奇数個の和では決して $0$ ににならない．
よって矛盾でありガンマ行列は奇数次ではない．
すなわちガンマ行列は偶数次の行列で表現されなければならない．

ガンマ行列は偶数次とわかったので $n=2$ の場合を考える．
$n=2$ のとき行列は4成分を持つ．
$\mathrm{tr}\,(\gamma^{\mu})=0$ から対角成分の1つは決まる．
よって独立なものは最大でも3つまでしかとることができない．
しかしながらガンマ行列は4つありそれらは反可換でなければならないから，最低でも4つの独立な行列が存在しなければならない．
したがって $n=2$ ではDirac代数を満足する表現は存在しない．

一方 $n=4$ 以上ではそのような独立な行列が4つ以上存在するのでガンマ行列の表示をとることができる．
そこでその最低次の $n=4$ の行列を表現に採用しよう．
$n=4$ の表現の一つにDirac表現，

がある．
ここで $\sigma^i$ はPauli行列である．
Dirac表現は非相対論的極限をとるときなどに便利な表現である．
もう一つ有名なものには，

というものがある．
これをWeyl表現とかカイラル表現とよぶ．
こちらはDirac方程式のまま扱うときに用いる．
本稿では主にWeyl表現をとり，そうでない表現を用いるときには断りを入れる．

表現が $n=4$ に決まったことで波動函数も4成分持たなければならないことになる．それを

とおく．
各 $\psi_a\,(a=1,2,3,4)$ を波動函数のスピノル成分という．
Pauli方程式のときには波動函数が2成分になったことを思い起こすと，それはスピンの固有状態がそれぞれ対応していた．
よってこの4成分もなんらかの物理量の固有状態に対応していると考えられる．
この対応は後の節で見る．
あとで導入する2成分スピノルと区別するために4成分スピノルをDiracスピノルということもある．
スピノル成分でかかれたDirac方程式は