Fourier変換の性質

~ QuantumAtsuo

Prerequisite

この節ではFourier変換のもつ重要な性質について示していこう．

有限区間 [a,b] において絶対可積分な函数 f\in L^1 は連続とする．
このときFourier変換の部分和

を考える．
変数変換 y'=y-\pi/k をほどこすと

となる．
二式の和を取って積分区間の重複している部分 [a,b-\pi/k] とそうでない部分に分割すれば

ここで k\to\infty という極限を考えると，最後の式の1行目の2項は積分区間の幅が 0 になるので落ちる．
2行目では函数の連続性から被積分函数はいくらでも小さくなるのでやはり落とすことができる．
こうして

が示された．
もし函数 f が区分的に連続な場合は連続な区間に分割し，それぞれの区間で上の議論を適用すればよい．

上の事実は実数全体に拡張できる．
絶対可積分のときにFourier変換は

と評価できる．
右辺の3つの積分区間について，両端では a を十分小さく， b を十分大きくとれば任意の \epsilon>0 に対して

と押さえることができる．
さらに真ん中の積分については十分大きな k に対してやはり \epsilon で押さえることができる．
以上により \lim_{k\to\infty}|\widetilde{f}(k)|\to0 が示され，それはつまり任意の絶対可積分函数 f\in L^1 のFourier変換について

Riemann–Lebesgueの補題

が成り立つことを意味する．
このことはRiemann–Lebesgueの補題として知られる．
この極限式は次のように直感的に理解できる: k が大きくなると e^{-iky} による振動が激しくなり間隔が非常に狭くなる．
すると函数 f の非常に近いところの2つの値に振動の正の部分と負の部分が掛け算され，それらが次々に相殺する．

次に任意の絶対可積分函数 f,\,g\in L^1 に対して畳み込み

のFourier変換について考えよう．
ここに g のFourier逆変換を代入することで

と変形できる．
それゆえ f*g は \widetilde{f}\widetilde{g} のFourier逆変換で与えられることがわかる．
あるいは畳み込みをFourier変換すれば

となる．
3行目へは x 積分について変数変換 x'=x-y を行なった．
以上をまとめると任意の絶対可積分函数 f,\,g\in L^1 の畳み込みに対するFourier変換と逆変換について

畳み込み定理

が成り立つ．
これは畳み込み定理として知られる．

Fourier変換によって函数の内積はどうなるか調べよう．
任意の絶対可積分かつ自乗可積分な函数 f,\,g\in L^1\cap L^2 に対して \widetilde{f} と \widetilde{g} の内積をとると

となる．
特に f=g のときはPlancherelの等式，

Plancherelの等式

が成立する．
Plancherelの等式はFourier展開におけるParsevalの等式に相当するものである．

最後に多変数函数のFourier変換について簡単に触れておこう．
二変数函数 f(x,y) の二次元Euclid空間 \mathbb{R}^2 上のFourier変換は

となる．
この場合Fourier逆変換は

で与えられる．

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