時間依存しない正準変換

Prerequisite

Poisson括弧

Hamiltonianに対して変数変換

をしても方程式の形が不変であったとする．つまり変換した後のHamiltonian， $\widetilde{H}(P,Q,t)$ に対して，

が成り立つ（ $1\leq i \leq N$ ）とき，その変換 $(p,q)\mapsto(P,Q)$ を正準変換 (canonical transfomation) という．

この節では時間にあらわに依存しない正準変換のみを考える； $P_i=P_i(p,q),\,Q_i=Q_i(p,q)$ ．
あとの節で一般の正準変換を議論する．
新しい変数の時間微分はPoisson括弧を用いて，

とかける．逆変換 $(P,Q)\mapsto(p,q)$ が存在するとして元の正準変数を $p_i=p_i(P,Q,t),\,q_i=q_i(P,Q,t)$ と表せたとしよう．
すると微分の鎖法則から

Hamiltonianの微分で整理すると，

とまとめられる．ここでPoisson括弧について

新正準変数の基本Poisson括弧式

が成り立っていると仮定する．すなわち新しい変数 $(P,\,Q)$ について基本Poisson括弧式の値が保たれるとすると，

となる．ここでプライム $'$ は新変数 $(P,\,Q)$ で定義されたPoisson括弧

新正準変数で定義されたPoisson括弧

を意味する．
他方で $P_i,\,Q_i$ の時間微分は変換後の正準方程式を適用することで

とも書くことができる．
したがって時間に依存しない正準変換の下でHamiltonianは

となり単なる変数変換となる．

では逆に正準変換の下での基本Poisson括弧の値の不変性を示そう．時間に依存しないとき $\widetilde{H}=H$ なので正準方程式は

右辺は微分の鎖法則を用いた．元の変数の正準方程式より，

他方で時間微分に直接鎖法則を適用すると

2組の式を比較すると

が得られる．
これらを駆使して基本Poisson括弧を計算すると

ゆえに $\{Q_i,\,P_j\}_{\mathrm{P}} = \delta_{ij}$ が帰結される．
ただし2つ目の等号では右側の因子にだけ上の関係式を適用し，3つ目の等号では鎖法則を用いた．
残りの基本括弧式 $\{Q_i,\,Q_j\}_{\mathrm{P}},\,\{P_i,\,P_j\}_{\mathrm{P}}$ でも同様の計算で値が不変なことが示せる．