静磁場の方程式

Prerequisite

静磁場 $\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x})$ を仮定するとAmpère–Maxwellの法則は，

$\boldsymbol{j}(\boldsymbol{x})$ は時間に依存しない定常電流で連続の式

を満たす．
$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}$ を代入すればベクトル解析の公式 $\boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A})=\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A})-\triangle\boldsymbol{A}$ より，

となる．
Coulombゲージを採用すれば第1項が落ちて，

となる．
各成分に着目すればそれぞれがPoisson方程式になっている．
したがって静電場の場合の特解からの類推によって特解は

と求まる．
磁場は $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}$ より，

$\boldsymbol{\nabla}(1/r)=\boldsymbol{x}/r^3$ より

これはBiot–Savardの法則である．

電流が有界で，そこから十分遠方での磁場を観測するとして $|\boldsymbol{x}|\gg|\boldsymbol{x}'|$ を仮定しよう．
$\boldsymbol{x}$ と $\boldsymbol{x}'$ のなす角を $\theta$ とするとベクトルポテンシャルは，

ただし $R=|\boldsymbol{x}|,\,r=|\boldsymbol{x}'|$ ．
小さい量 $r/R$ に関するTaylor展開をすれば，

とできる．
これは静電場の多重極展開と同じである．
第1項は，

である．
ここで定常電流では $\sum_k\partial_k(x'_jj_k)=j_k$ であることからベクトル場の発散に書き換えることができる．
Gaussの定理を適用して

最後の等号では電流が有界なことから空間遠方の表面積分においては $0$ であることを用いた．

次のように具体的に考えることもできる: 電流は無限に細い導線でできているとすると有界な単純閉回路 $\gamma$ を曲線 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(u)$ と表せる．
$u$ は回路に沿ったパラメータ．
電流密度を $\boldsymbol{j}(\boldsymbol{x})=I\delta^{(3)}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}(u))$ とおいてデルタ函数の積分を実行すれば $\gamma$ 上の積分に書き換えることができて

となる．
$\mathrm{d}\boldsymbol{l}$ は閉回路の微小線要素で $I$ は回路を流れる電流の大きさ．
この一周積分は $0$ なので第1項からの寄与はない．
静電場の場合と違って磁場の多重極展開では単極子の寄与が存在しない．

では第2項を見てみよう．

まずベクトル三重積の式より $(\boldsymbol{x}'\times\boldsymbol{j})\times\boldsymbol{x}=\boldsymbol{j}(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{x}'(\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{x})$ である．
他方で