正準形式の作用

Prerequisite

正準方程式
Legendre変換

この節では初めから正準形式を出発点にして理論を構築する．

正準形式での作用の定義は，

正準形式の作用

である．基本変数の一般の変分を

とおく．変換後に定義される作用は

であり， $t'_0 = t'(t_0),\,t'_1 = t'(t_1)$ ． $t \mapsto t'(t) = t + \delta T(t)$ を変数変換と思って積分変数を $t'$ から $t$ へ変え，1次の微小量まで展開すれば

したがって作用の変分は

今は軌道と時間の両方をずらしているので $\delta Q,\,\delta P$ をそれらに分解したいと考えて

とする．前の2項は時間を固定して座標のずれだけを評価しているので軌道の変分 $\delta q_i,\,\delta p_i$ である．他方，後ろ2項は時間の変分 $\dot{q}_i\delta T ,\,\dot{p}_i\delta T$ である：

同様に考えて，

以上を代入して部分積分を使って $\delta p_i,\,\delta q_i,\,\delta T$ でまとめて整理すると

あるいは後ろの境界項では $\delta Q$ に戻して

と表すこともできる．これが正準形式での作用の変分である．

最小作用の原理の主張は，「軌道の端点を固定したとき作用を極小にするような $q=q(t)$ と $p=p(t)$ が実際に起こる軌道」である．
端点固定の条件から $\delta Q_i|_{t=t_1}=\delta Q_i|_{t=t_0}=0$ であり，時間は固定することから $\delta T=0$ ．よって

$\delta q_i$ と $\delta p_i$ のそれぞれは任意にとってこられるから係数を比較すれば，

正準方程式

が成り立ち正準方程式が導出される．

正準形式の作用の被積分函数は $p,\,q$ だけでなく $\dot{q}$ の函数でもあることに注意せよ．

と定義し， $\Phi$ が $p_i$ について極値を取る条件から，

これを $p_i$ について解いて，

と与えられたとする．そして新たな函数

を定義するとこれは逆Legendre変換だから系のLagrangianに等しい．

軌道 $p(t),\,q(t)$ が作用の極小値を与えるとしよう．
正準方程式を満たすので

作用は（運動方程式を満たすとき）軌道の端点の変位と時間の変位のみに依存していることがわかる．

Newtonの運動方程式を解くだけでは1つの解に定まらない．通常，ある時刻での位置と速度の値（初期条件）を与えると解が一意に定まる．
同様にLagrange形式では2つの時刻での位置の値が与えられると最小作用の原理により解が一意に定まる．
正準形式では位置と運動量を独立に変分をとるが，正準方程式を導くのに必要なのは位置の端点固定の条件だけである．よって正準形式においても解を定めるのに必要な条件の数は変わらない．

作用の変分を汎函数ではなく端点 $t_0,\,t_1$ と $q^{(0)}=q_(t_0),\,q^{(1)}=q(t_1)$ の函数であるとみなそう：

ただし $p^{(0)},\,p^{(1)},\,H$ は端点 $t_0,\,t_1,\,q^{(0)},\,q^{(1)}$ の函数として表される．時間と $q^{(0)}$ を固定し端点 $q^{(1)}$ だけを動かしたとすると，

を得る．他方，位置と $t_0$ を固定し端点 $q^{(1)}$ だけを動かしたとすると，

を得る．

つまりはじめの端点を固定し，終わりの端点をいろいろ動かしたとき作用は終わりの端点の函数であり

が成り立つ．

Problems

$\textsc{Problem1. }$

2次元一様重力場中の質点のHamiltonian

の軌道を求めよ．ただし端点を $t=0$ で $(0,0)$ ，時刻 $t_1$ で $(d,0)$ とする．
また軌道の式を作用に代入し作用を端点 $d,\,t_1$ の函数として求めよ．

$\textsc{Solution. }$

正準方程式より

運動量については直ちに $C_x,\,C_y$ を定数として $p_x(t) = C_x,\,p_y(t) = -mgt + C_y$ ．
これらを代入して， $x(t) = (C_x/m)t+D_x,\,y(t) = -(g/2)t^2 + C_yt + D_y$ を得る（ $D_x,\,D_y$ も定数）．
端点の条件より， $x(0)=D_x=0,\,y(0)=D_y=0$ であり $x(t_1)=C_xt_1/m=d,\,y(t_1)=-gt_1^2/2 + C_yt_1 = 0$ が成り立つ．
これらから $C_x = md/t_1,\,C_y = mgt_1/2$ と定まる．