Dirac方程式の非相対論的極限

Prerequisite

相対論的量子力学のU(1)ゲージ理論

この節ではDirac方程式に対して非相対論的極限をとることを見る．
この場合非相対論的な粒子を正準量子化したときのSchrödingerの波動方程式に帰着すると予想される．
しかし実はDirac方程式は単に古典力学を再現するだけでなく，粒子のもつスピンの起源をも説明することができる．

ではまず自由なDirac方程式から始めよう．
このとき一般解は

の形に表される．
このうち第2項は負のエネルギー解に対応しているが，古典力学ではこのような解は許されないので棄却して

を以下では扱っていく．
非相対論的極限を議論するときはガンマ行列はWeyl表現よりもDirac表現

を採用する方が便利である．
Dirac表現での一般解についてまずは考察しておく．
Weyl表現のときと同様にまずは静止系を考えてDirac方程式 $(-\gamma^0+I_4)u(\boldsymbol{0})=0$ から，

として上2成分しか持たないことがわかる（ $c_1,\,c_2$ は任意の複素数）．
Lorentz変換して任意の運動量を持つ系に移す

今われわれは非相対論的極限に興味があるのでラピディティ $\eta$ は小さいと仮定してよい．
実際

というオーダーを持つ．
したがって

という形に近似できる．
Dirac表現で見ると $u(\boldsymbol{p})$ の下2成分は上2成分に比べて非相対論的極限で無視できるようになる（ちなみに $v(\boldsymbol{p})$ の方は反対に下2成分が残るようになる）．

次に平面波 $e^{ip\cdot x}$ を評価する．
この因子に時間微分が作用すると $\omega_{\boldsymbol{p}}$ が係数に現れる．
非相対論的極限では静止エネルギーとそれ以外の部分に分けて

と近似できるとすると， $\psi_a(x)=e^{-imc^2t/\hbar}\psi_a^{(\mathrm{NR})}(x)$ とおいて

と計算される．
非相対論的極限においては第1項に比べて時間微分の項は小さいとして評価すればよい．

では改めてDirac方程式を見てみよう．
$\psi=(\xi,\,\chi)$ として2つの2成分スピノルに分解してDirac表現のガンマ行列を作用させると

となる．
両辺に $\hbar ce^{+imc^2t/\hbar}$ をかけて時間微分を計算すれば

ここで $\psi^{(\mathrm{NR})}=(\xi^{(\mathrm{NR})},\,\chi^{(\mathrm{NR})})$ とおいた．
$u(\boldsymbol{p})$ の形から $\xi^{(\mathrm{NR})}=\mathcal{O}(c^0)$ ， $\chi^{(\mathrm{NR})}=\mathcal{O}(c^{-1})$ と評価できるから，2つ目の方程式において $\chi^{(\mathrm{NR})}$ の時間微分の項は無視できる．
よって

と解ける．
これを1つ目の方程式へ代入して整理すれば

となる．
静止エネルギーの項はキャンセルするのでこれらの項が主要になっている．
Pauli行列の性質により $\{\sigma^i,\sigma^j\}=2\delta_{ij}I_2$ を満たすことから，第2項は $\hbar^2/(2m)\cdot \boldsymbol{\nabla}^2\xi(x)$ に書き換えられる．
よって自由な場合の非相対論的粒子のSchrödinger方程式

が導出された．

次に電磁場があるときのDirac方程式で同じく非相対論的極限をとってみよう．
このときのDirac方程式の一般解は与えられないが電磁場のエネルギーも非相対論的と仮定することで，エネルギーについて同様の評価ができると仮定する．
また正エネルギー解だけを採用し，Dirac表現において上2成分だけが非相対論的極限で残ると仮定する．

電磁場中のDirac方程式は

ここで $D_{\mu}=\partial_{\mu} - (ie/\hbar)A_{\mu}$ である．
2成分スピノルであらわに書き下すと

両辺に $\hbar ce^{+imc^2t/\hbar}$ をかけて微分を計算すれば

2つ目の方程式で $\chi^{(\mathrm{NR})}$ の時間微分と $e\phi\chi^{(\mathrm{NR})}$ の項は静止エネルギーに比べて無視できるので

と解ける．
これを1つ目の方程式へ代入して整理すれば

ここで微分 $\partial_i$ はベクトルポテンシャル $A_j(x)$ にも作用することに注意する．
Pauli行列は

を満たすことから，

と分解できる．
第2項で微分演算子に注意して括弧を展開すると

となる．
第2項以降は反対称テンソルと対称テンソルの縮約なので落ちる．
第1項を $i$ と $j$ について反対称化すれば

と変形される．
ここで $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\nu}$ は電磁場テンソルであり磁場 $\boldsymbol{B}(x)$ とは $\epsilon_{ijk}F_{ij}=2B_k$ の関係にある．
結局方程式は

に帰着される．
これはスピン $1/2$ を持つ粒子が電磁場と相互作用するときのPauli方程式である．
この右辺第2項は粒子が磁気モーメント，

をもつことを意味する．
$\hat{\boldsymbol{S}}$ はスピン演算子であり $g=2$ は $\boldsymbol{g}$ 因子 ( $g$ -factor) である．
こうしてDirac方程式の非相対論的極限からスピン $1/2$ の粒子と磁場の相互作用項が導かれた．
Dirac方程式は $g$ 因子がちょうど $2$ であることを示唆する．
しかし実際にはたとえば電子やミューオンといった素粒子の実験値は $2$ からわずかにずれていて異常磁気モーメント (anomalous magnetic moment) として知られる．
異常磁気モーメントを精密に計算するためにはDirac粒子と電磁場に関する場の量子論，量子電磁気学 (QED) やさらなる高次補正には素粒子の標準モデルを用いる必要がある．
ミューオンの異常磁気モーメントは標準モデルによる計算からもさらにずれており，標準モデルを超えた理論が期待されている．