位相空間

Prerequisite

正準変換の母函数

正準形式の理論を扱う際，一般化座標 $q$ の張る空間 $\mathbb{R}^N$ 上で考えるよりも $q$ と $p$ の張る $\mathbb{R}^{2N}$ 上を考える方が便利なことがある．
この空間のことを物理では位相空間 (phase space) といい以下では $\Gamma$ と書くことにする．

註）数学でいう位相空間 (topological space) とは何の関係もないことに注意．

位相空間 $\Gamma$ の点は $(q_1,\cdots,q_N,p_1,\cdots,p_N)$ で表され，正準方程式の解 $q_i=q_i(t),\,p_i=p_i(t)\,(i=1,\cdots,N)$ は位相空間上の一つの曲線軌道に対応する．
そこで座標と運動量をまとめて，

という表記を採用しよう．すると正準方程式は，

正準方程式

という形にまとめられる．ここで $\Omega$ は次の成分をもつ $2N\times 2N$ の正方行列である：

ここで $I_N$ は $N$ 次の単位行列．定義から明らかに逆行列は $\Omega^{-1}=\Omega^{\mathrm{T}}=-\Omega$ である．
また微分演算子は，

で定義されている．作用は部分積分から，

と書き変わる．この作用の $\boldsymbol{\xi}$ に対する変分原理から正準方程式が導かれる．

Poisson括弧は，

Poisson括弧

と書き換えることができる．
基本Poisson括弧式と正準方程式は，

基本Poisson括弧式

正準変換は位相空間 $\Gamma$ 上の座標変換の1種である．
正準変換を，

正準変換

とかこう．正準変換の下でPoisson括弧は，

と変換するが，微分の鎖法則より，

であり，任意の正準変換に対してPoisson括弧の値は不変であることから，

がいえる．
この条件は基本Poisson括弧式が正準変換で不変なことを示しているので， $\boldsymbol{\xi}\mapsto\boldsymbol{\Xi}$ が正準変換であることとこの条件は必要十分の関係にある．

によって行列 $S=(S_{ik})$ を導入しよう．
すると上の条件式は，

シンプレクティック条件

と書き換えられる．
これが位相空間での正準変換の満たすべき条件である．
このような条件を満たす行列 $S$ を一般にシンプレクティック行列(symplectic matrix)あるいは斜交行列という．
また $S$ は定義より正準変換のJacobi行列でもある．

正準変換を2回続けて行って $\boldsymbol{\xi}\mapsto\boldsymbol{\eta}\mapsto\boldsymbol{\zeta}$ と変換することを考えよう．それぞれの変換に行列 $S_1,S_2$ が対応しているものとする．このとき積 $S_1S_2$ について，

が成り立つので $S_1S_2$ もシンプレクティック行列である．定義より，

となる．つまり合成変換 $\boldsymbol{\xi}\mapsto\boldsymbol{\zeta}$ は正準変換であり対応するシンプレクティック行列は $S_1S_2$ である．
3つの正準変換に対して行列の積の性質から明らかに結合則 $(S_1S_2)S_3=S_1(S_2S_3)$ を満たす．
また単位行列 $I_{2N}$ は恒等変換 $\boldsymbol{\xi}\mapsto\boldsymbol{\xi}$ に対応するシンプレクティック行列である．

任意の正準変換に対して $\mathrm{det}\, S\neq0$ であることから逆行列 $S^{-1}$ が存在する．
そこで $S^{\mathrm{T}}\Omega S=\Omega$ の右から $S^{-1}$ をかけ，左から $\Omega^{-1}=\Omega^{\mathrm{T}}$ をかけると

と表せられる．それゆえ

よって逆行列 $S^{-1}$ もシンプレクティック行列である．
以上のことからシンプレクティック行列全体の集合，

シンプレクティック群

は群構造をもっている．この群をシンプレクティック群あるいは斜交群という．

$S^{\mathrm{T}}\Omega S=\Omega$ の左から $\Omega(S^{\mathrm{T}})^{-1}$ をかけると $S = -\Omega(S^{\mathrm{T}})^{-1}\Omega$ ．
さらに右から $\Omega S^{\mathrm{T}}$ をかけると

が得られる．

$S^{\mathrm{T}}\Omega S=\Omega$ の両辺の行列式をとれば，

であるので $\mathrm{det}\, S=\pm1$ とわかる．
実は $\mathrm{det}\, S = +1$ であることを示せるがここでは割愛する（問題参照）．
Jacobi行列の行列式（Jacobian）が $1$ に等しいので位相空間上の積分 $\int\mathrm{d}^{2N}\boldsymbol{\xi}\,f(\boldsymbol{\xi})$ は正準変換による変数変換に対して，

となって積分要素は不変である．この事実をLiouvilleの定理という．

最後に正準方程式の初期値問題の形式解を与えておこう．
正準方程式の両辺をさらに $t$ 微分すると

一般に $n$ 階微分は

というPoisson括弧が $n$ 個入れ子になった形で表すことができる．
正準方程式の初期値を $t=t_0$ で $\xi_i(t_0)$ として $\xi_i(t)$ を初期時刻 $t_0$ の周りでTaylor展開すると

となる．各項の微分をPoisson括弧で書き換えると

このPoisson括弧の入れ子を微分作用素

が $\xi_i$ に $n$ 回作用していると解釈すれば

ただし $H_0$ は時刻 $t_0$ でのHamiltonian．
そこで $\mathcal{A}$ を微分作用素として指数函数

を定義すると，

という形の形式解を得ることができる．
正準方程式にしたがう時間発展は1つのパラメータ $t$ と生成子 $\{H_0,\,\cdot\}_{\mathrm{P}}$ で生成される．

Problems

$\textsc{Problem1. }$

Lagrange括弧

をシンプレクティック表現に改めて，正準変換のもとで不変なことを確かめよ．

$\textsc{Solution. }$

正準変換 $\boldsymbol{\xi}\mapsto\boldsymbol{\Xi}$ に伴って

正準変換より $S\Omega S^{\mathrm{T}}=\Omega$ なので

より $\{f,\,g\}_{\mathrm{L}}'=\{f,\,g\}_{\mathrm{L}}$ が示された．

$\textsc{Problem2. }$

シンプレクティック内積: 位相空間上の任意のベクトル $\boldsymbol{U},\,\boldsymbol{V}$ に対してシンプレクティック内積

を定める．シンプレクティック内積が正準変換のもとで不変なことを示せ．

$\textsc{Solution. }$

座標基底 $\partial/\partial\xi_i$ をとると， $\boldsymbol{U}=\sum_iU_i(\partial/\partial\xi_i)$ と展開される．
正準変換 $\boldsymbol{\xi}\mapsto\boldsymbol{\Xi}$ に伴って基底も変換されて